Какова площадь круга, который вписан в равнобедренную трапецию, где большее основание равно 8 см и тупой угол равен

Sonya

24

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание некоторых свойств фигур. Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Разбираемся с равнобедренной трапецией
Равнобедренная трапеция - это четырехугольник, у которого два основания параллельны, а два других боковых ребра одинаковой длины. В этой задаче мы знаем, что болеее основание равно 8 см. Поскольку вопрос идет о равнобедренной трапеции, это значит, что его второе основание также равно 8 см.

Шаг 2: Понимаем свойства вписанного круга
Вписанный круг - это круг, который полностью помещается внутри фигуры, так что каждая сторона фигуры касается круга. В данной задаче, круг вписан в равнобедренную трапецию, значит, что круг касается каждой стороны трапеции.

Шаг 3: Находим высоту трапеции
Чтобы узнать площадь круга, нам нужно сначала найти высоту трапеции (h) - это расстояние между двумя основаниями. Для этого нам понадобится знание о тупом угле, равном 120 градусам. Так как трапеция равнобедренная, угол между основанием и боковым ребром составляет половину этого угла, то есть 60 градусов.

Воспользуемся тригонометрической формулой для нахождения высоты трапеции h:
\[h = a\sin(\theta)\]
где a - длина бокового ребра, а \(\theta\) - угол между основанием и боковым ребром.

В нашем случае, длина бокового ребра равна 8 см, а угол \(\theta\) равен 60 градусам. Подставляем значения в формулу:
\[h = 8\sin(60^\circ)\]

Находим значение синуса 60 градусов:
\[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Выполняем вычисление:
\[h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, высота трапеции равна \(4\sqrt{3}\) см.

Шаг 4: Находим радиус вписанного круга
Радиус вписанного круга равен половине высоты трапеции. Поделим найденную высоту на 2:
\[r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Шаг 5: Находим площадь вписанного круга
Площадь круга можно найти с помощью формулы \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - число пи (примерно 3.14), \(r\) - радиус вписанного круга.

Подставляем найденное значение радиуса в формулу:
\[S = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi\]

Таким образом, площадь вписанного круга равна \(12\pi\) квадратных сантиметров.

Ответ: Площадь круга, который вписан в данную равнобедренную трапецию, равна \(12\pi\) квадратных сантиметров.