Какова должна быть наименьшая скорость Vmin электрона, чтобы при неупругом столкновении с невозбужденным атомом

Сквозь_Туман

10

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.

При неупругом столкновении электрона с атомом водорода происходит передача энергии и возбуждение атома. Чтобы появилась только одна линия в спектре, атом должен вернуться в основное энергетическое состояние после взаимодействия с электроном.

Рассмотрим процесс столкновения. Начальная энергия электрона равна кинетической энергии \(E_{\text{кин}}\) электрона и равна \(\frac{1}{2} m_e V^2\), где \(m_e\) - масса электрона, \(V\) - его скорость. После столкновения электрон предоставляет свою энергию атому. Так как энергия атома связана с энергией связи электрона с ядром, состояние атома можно описать с помощью квантового числа \(n\) - главного квантового числа.

Тогда энергия, которую получает атом в результате столкновения, равна разности энергий между начальным главным квантовым числом (предположим \(n_i\)) и конечным главным квантовым числом (пусть \(n_f\)).

\[
\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n_f^2} - \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n_i^2} \qquad (1)
\]

Следующим шагом является вычисление импульса электрона перед и после столкновения. Так как атом водорода намного тяжелее электрона, можно считать, что передача импульса происходит только от электрона к атому. По закону сохранения импульса имеем:

\[
m_e V_{\text{in}} = M V_{\text{f}} \qquad (2)
\]

где \(V_{\text{in}}\) - начальная скорость электрона, \(V_{\text{f}}\) - скорость атома после столкновения, \(M\) - масса атома водорода.

Как только мы определим значения \(V_{\text{in}}\) и \(V_{\text{f}}\), мы сможем найти длину волны \(\lambda\) спектральной линии. Для водородного атома длина волны связана с изменением энергии атома по формуле Ридберга:

\[
\Delta E = \frac{hc}{\lambda} \qquad (3)
\]

где \(h\) - постоянная Планка, \(c\) - скорость света.

Давайте теперь решим задачу. Возьмем числовые значения \(n_i = 3\) (т.к. электрон должен находиться на уровне, более близком к ядру) и \(n_f = 1\) (чтобы атом вернулся в основное состояние), а также массы и физические константы:

\[
m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}, \quad M = 1.67 \times 10^{-27} \, \text{кг}, \quad h = 6.63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}, \quad c = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}
\]

Подставим эти значения в формулы (1) и (2) и найдем значения \(\Delta E\) и \(V_{\text{in}}\):

\[
\Delta E = \frac{13.6 \, \text{эВ}}{1^2} - \frac{13.6 \, \text{эВ}}{3^2}
\]

\[
V_{\text{in}} = \frac{M V_{\text{f}}}{m_e} = \frac{M V_{\text{f}}}{9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}}
\]

Зная \(\Delta E\), можно выразить \(\lambda\) из формулы (3):

\[
\lambda = \frac{hc}{\Delta E}
\]

Подставим численные значения и посчитаем \(\lambda\).