Какова эквивалентная емкость двух идентичных цилиндрических конденсаторов с металлическими цилиндрами, если их радиусы

Магический_Замок

52

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для расчета эквивалентной емкости конденсаторов, соединенных параллельно. Мы можем выразить емкость каждого конденсатора, используя формулу для цилиндрического конденсатора:

\[C = 2\pi\epsilon_0\epsilon_r \frac{l}{\ln(b/a)}\]

Где:
- \(C\) - емкость конденсатора;
- \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная (\(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\));
- \(\epsilon_r\) - диэлектрическая проницаемость (\(\epsilon_r = 7\));
- \(l\) - длина конденсатора;
- \(a\) - внутренний радиус цилиндра (меньший радиус);
- \(b\) - внешний радиус цилиндра (больший радиус).

Найдем емкость первого конденсатора (с радиусами \(R1\) и \(l\)):

\[C1 = 2\pi\epsilon_0\epsilon_r \frac{l}{\ln(R1/R)}\]

Подставим значения в формулу:

\[C1 = 2\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7 \frac{0.05}{\ln(0.02/0.05)}\]

Вычислим данное выражение:

\[C1 \approx 4.48 \times 10^{-11}\, \text{Ф}\]

Аналогичным образом найдем емкость второго конденсатора (с радиусами \(R2\) и \(l\)):

\[C2 = 2\pi\epsilon_0\epsilon_r \frac{l}{\ln(R2/R)}\]

Подставим значения в формулу:

\[C2 = 2\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7 \frac{0.05}{\ln(0.03/0.05)}\]

Вычислим данное выражение:

\[C2 \approx 3.71 \times 10^{-11}\, \text{Ф}\]

Теперь, чтобы найти эквивалентную емкость конденсаторов, соединенных параллельно, мы применим следующую формулу:

\[C_{\text{экв}} = C1 + C2\]

Подставим значения и выполним вычисления:

\[C_{\text{экв}} \approx 4.48 \times 10^{-11} + 3.71 \times 10^{-11} = 8.19 \times 10^{-11}\, \text{Ф}\]

Таким образом, эквивалентная емкость двух идентичных цилиндрических конденсаторов с металлическими цилиндрами, если их радиусы \(R1 = 2\) см, \(R2 = 3\) см и длина \(l = 5\) см, и они соединены параллельно, составляет \(8.19 \times 10^{-11}\) Ф.