Какова форма детской площадки, площадью 180 м2, где одна сторона на 3 метра больше другой? Сколько материала необходимо
Какова форма детской площадки, площадью 180 м2, где одна сторона на 3 метра больше другой? Сколько материала необходимо для постройки бордюра, если в упаковке содержится 15 метров материала?
Летучий_Фотограф_5941 32
Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что представим форму детской площадки в виде прямоугольника. Пусть одна сторона данного прямоугольника будет \(x\) метров, а другая сторона будет на \(3\) метра больше и равняться \(x + 3\) метра.Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому, площадь детской площадки равна:
\[x \cdot (x + 3) = 180\]
Давайте решим это уравнение пошагово.
1. Раскроем скобки:
\[x^2 + 3x = 180\]
2. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
\[x^2 + 3x - 180 = 0\]
3. Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем попытаться разложить его на множители, либо воспользоваться формулой дискриминанта. В данном случае, мы будем использовать формулу дискриминанта.
4. Запишем формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
5. Подставим коэффициенты из уравнения:
\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180)\]
\[D = 9 + 720\]
\[D = 729\]
6. Так как дискриминант равен 729, у нас есть два варианта для решения квадратного уравнения:
a) Если дискриминант положителен, то у нас есть два различных корня.
b) Если дискриминант равен нулю, то у нас есть один корень кратности 2.
В нашем случае дискриминант положителен, поэтому у нас будут два различных корня.
7. Применим формулу корней квадратного уравнения:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1}\]
8. Вычислим значения корней:
\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2}\]
\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2}\]
\[x_1 = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12\]
\[x_2 = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]
Так как стороны не могут быть отрицательными, нас интересует только положительные корни.
Таким образом, мы получили, что одна сторона детской площадки равна 12 метрам.
9. Найдем другую сторону, используя \(x + 3\):
\(12 + 3 = 15\) метров.
Теперь у нас есть размеры детской площадки - одна сторона равна 12 метрам, а другая сторона равна 15 метрам.
Чтобы найти общую длину бордюра, мы должны сложить периметры всех сторон детской площадки.
Периметр прямоугольника можно найти, используя формулу:
\[P = 2a + 2b\]
где \(a\) и \(b\) - длина и ширина прямоугольника соответственно.
10. Найдем периметр детской площадки:
\[P = 2 \cdot (12 + 15) = 2 \cdot 27 = 54\]
Таким образом, для постройки бордюра детской площадки понадобится 54 метра материала. Если в упаковке содержится 15 метров материала, нам потребуется \(\frac{54}{15} = 3.6\) упаковки материала.
Важно отметить, что при выполнении реального проекта возможны небольшие отклонения и потребуется дополнительный материал на соединение частей бордюра.