Given: f(x)={x2+4x+3, если x∈[−5;0]x+1−−−−√+2, если x∈(0;3] Draw the graph of this function. Find the intervals
Given: f(x)={x2+4x+3, если x∈[−5;0]x+1−−−−√+2, если x∈(0;3] Draw the graph of this function. Find the intervals of increasing and decreasing, extremes (i.e. maximums and minimums) of the function, the largest and smallest values of the function, intervals of sign constancy of the function, parity, zeros of the function, and points of intersection with the x and y axes. 1. Interval of increasing function: x∈(−1;3) x∈[−2;3] x∈(−2;3) Interval of decreasing function: x∈[−5;−2) x∈(−5;−3) x∈[−5;−2] x∈(−5;−2) 2. Extreme of the function (in the corresponding input field, enter an integer - positive or negative): f( ) = . It is the maximum of the function.
Веселый_Клоун 60
Чтобы нарисовать график данной функции, мы должны разделить область определения на два интервала: [-5;0] и (0;3].Для первого интервала, [-5;0], функция определена как f(x) = x^2 + 4x + 3.
1. Для начала, найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:
f"(x) = 2x + 4
2x + 4 = 0
2x = -4
x = -2
Таким образом, интервал возрастания функции на этом промежутке будет (-∞; -2), а интервал убывания - (-2; 0).
2. Найдем точки экстремума, когда функция меняет свой характер. Для этого проведем вторую производную и приравняем ее к нулю:
f""(x) = 2
Вторая производная постоянна и не равна нулю, следовательно, у функции нет экстремумов на интервале [-5;0].
3. Найдем максимальное и минимальное значение функции. Для этого вычислим значение функции на границах интервала:
f(-5) = (-5)^2 + 4(-5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8
f(0) = (0)^2 + 4(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3
Таким образом, максимальное значение функции равно 8, а минимальное - 3.
4. Определим интервалы постоянства знака функции. Из графика видно, что на интервале [-5;0] функция положительна, так как график лежит выше оси абсцисс.
5. Определим четность функции. Для этого рассмотрим график функции на интервале [-5;0]. График не обладает особой симметрией, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.
6. Найдем нули функции, т.е. значения x, при которых f(x) = 0.
x^2 + 4x + 3 = 0
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = 4^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4
Найдем корни уравнения:
x_1 = (-4 + √4)/2(1) = (-4 + 2)/2 = -1
x_2 = (-4 - √4)/2(1) = (-4 - 2)/2 = -3
Таким образом, нули функции -1 и -3.
7. Точки пересечения с осями координат. График функции пересекает ось абсцисс в точке (0, 3), так как f(0) = 3. Ось ординат пересекается в точке (0, 3), так как значение функции в точке (0, 0) равно 3.
Теперь проделаем аналогичные действия для второго интервала, (0;3].
Для второго интервала, функция определена как f(x) = √(x+1) + 2.
1. Интервал возрастания функции: x ∈ (0; 3)
Интервал убывания функции: x ∈ (0; 3)
2. Точки экстремума: на этом интервале нет экстремумов.
3. Максимальное и минимальное значение функции: для такого случая у функции нет ограничений сверху или снизу, поэтому таких значений нет.
4. Интервалы постоянства знака функции: функция положительна на интервале (0; 3).
5. Четность функции: также как и для первого интервала, функция не является ни четной, ни нечетной.
6. Нули функции: у данной функции нет нулей, так как корень из отрицательного числа нельзя вычислить.
7. Точки пересечения с осями координат: график функции не пересекает ось абсцисс (так как значение функции всегда положительно). Ось ординат пересекается в точке (0,2), так как f(0) = 2.
Итак, график функции будет выглядеть следующим образом:
(Здесь будет рисунок графика функции)