Какова форма графика функции y=x²-9 и когда функция принимает отрицательные значения аргумента?

Kristina

24

Функция \(y = x^2 - 9\) является квадратной функцией. Для определения её графика и определения, когда она принимает отрицательные значения аргумента, мы можем проанализировать уравнение и свойства квадратных функций.

1. Форма графика функции:
При анализе функции \(y = x^2 - 9\), заметим, что это квадратное уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a = 1\), \(b = 0\), и \(c = -9\). Здесь у нас отсутствует линейный член \(bx\), поэтому график функции будет симметричен относительно оси OY (вертикальной оси) и будет иметь форму параболы, открывающейся вверх.

2. Решение уравнения \(y = x^2 - 9\) для определения, когда функция принимает отрицательные значения аргумента:
Чтобы найти, когда функция \(y = x^2 - 9\) принимает отрицательные значения аргумента, мы должны решить неравенство \(x^2 - 9 < 0\).

a) Сначала найдем корни уравнения \(x^2 - 9 = 0\):
\[x^2 - 9 = 0\]
\[(x - 3)(x + 3) = 0\]
Отсюда получаем два корня: \(x = -3\) и \(x = 3\).

b) Затем проанализируем знаки функции на интервалах между и вне корней. Мы можем выбрать тестовую точку на каждом интервале и проверить знак функции в этой точке. Например:

- Если мы возьмем точку \(x = -4\) (меньше -3), то:
\[f(-4) = (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7\]
Таким образом, на интервале \((-\infty, -3)\), функция принимает положительные значения.

- Если мы возьмем точку \(x = 0\) (между -3 и 3), то:
\[f(0) = (0)^2 - 9 = - 9\]
Таким образом, на интервале \((-3, 3)\), функция принимает отрицательные значения.

- Если мы возьмем точку \(x = 4\) (больше 3), то:
\[f(4) = (4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7\]
Таким образом, на интервале \((3, \infty)\), функция принимает положительные значения.

3. Итак, после проанализирования знаков функции \(y = x^2 - 9\) на интервалах, мы можем сказать, что функция принимает отрицательные значения аргумента на интервале \((-3, 3)\), и она принимает положительные значения аргумента вне этого интервала.

4. График функции:
Теперь построим график функции \(y = x^2 - 9\) на основе наших результатов. График будет представлять параболу с вершиной в точке (0, -9) и будет открываться вверх. На интервале \((-3, 3)\) график будет ниже оси OX (горизонтальной оси) и будет представлять отрицательные значения аргумента.

\[
\begin{{array}}{{ c|c }}
x & y \\
\hline
-4 & 7 \\
-3 & 0 \\
-2 & -5 \\
-1 & -8 \\
0 & -9 \\
1 & -8 \\
2 & -5 \\
3 & 0 \\
4 & 7 \\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{ c }}
\\
\\
\\
\\
\\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{ c }}
\\
\\
\\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{ c|c }}
\\
\hline
x & y \\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{ c|c }}
\\
\hline
-\infty & +\infty \\
\end{{array}}
\]

И это график функции \(y = x^2 - 9\), который мы рассмотрели подробно.

Я надеюсь, это объяснение и график помогут вам понять форму графика функции и когда она принимает отрицательные значения аргумента. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!