Как привести выражение a-20/4a+5a-2/a2 к виду обыкновенной дроби?

Yuliya

38

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала рассмотрим числитель выражения \(a-20\) и знаменатель выражения \(4a+5a-2/a^2\).

2. Для удобства, давайте сначала приведем знаменатель к общему знаменателю. В данном случае, общим знаменателем будет \(a^2\), так как он содержится во втором слагаемом знаменателя.

3. Чтобы привести знаменатель к общему знаменателю, разложим каждое слагаемое на множители:
- \(4a\) разложим на множители: \(2 \cdot 2 \cdot a\)
- \(5a\) разложим на множители: \(1 \cdot 5 \cdot a\)
- \(\frac{2}{a^2}\) уже является обыкновенной дробью и не требует дополнительного преобразования.

4. Теперь приведем полученные множители к общему знаменателю, взяв их наименьшее общее кратное (НОК). В данном случае, НОК для \(2 \cdot 2 \cdot a\) и \(1 \cdot 5 \cdot a\) будет \(2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot a = 20a\).

5. Умножаем каждое слагаемое числителя и знаменателя на недостающие множители, чтобы получить общий знаменатель \(20a\):
- \((a-20)\) умножаем на \(\frac{20}{20}\), получаем \(\frac{20a-400}{20a}\)
- \((4a+5a-2/a^2)\) умножаем на \(\frac{20}{20}\), получаем \(\frac{20(4a+5a-2/a^2)}{20a}\)

6. Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, складываем числители:
- \(\frac{20a-400}{20a} + \frac{20(4a+5a-2/a^2)}{20a}\)
- Раскрываем скобки во втором слагаемом: \(\frac{20a-400+80a+100a-\frac{40}{a}}{20a}\)

7. Сокращаем подобные слагаемые в числителе:
- Суммируем множители \(20a\) и \(80a+100a\) получаем \(200a\)
- \(-400\), \(-\frac{40}{a}\) остаются без изменений.

8. Полученное выражение становится:
\[\frac{200a-400-\frac{40}{a}}{20a}\]

9. Если требуется дальнейшее упрощение дроби, то можно провести сокращение: выделим общий множитель \(40\) в числителе, которого также нет в знаменателе:
\[\frac{40 \cdot 5a - 40 \cdot 10 - \frac{40}{a}}{20a} = \frac{\frac{200}{a} - 400 - \frac{40}{a}}{20a} = \frac{\frac{200 - 40a}{a} - 400}{20a}\]

Это окончательный ответ, который является обычной дробью и не может быть дальше упрощен.