Какова градусная мера дуги BN, если угол ANC равен 120° и секущая AC проходит через центр окружности?

Амина

63

Данная задача основана на свойствах центральных и вписанных углов. Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи:

1. Начнем с того, что развернем секущую AC, чтобы она стала хордой, и обозначим точку пересечения этой хорды с окружностью как M. Также обозначим точку B - середину дуги BN.

2. Поскольку секущая AC проходит через центр окружности, то угол AMC является прямым углом (180°).

3. Так как угол ANC равен 120°, то угол AMC равен половине этого значения, то есть 60°.

4. Поскольку угол BAN является вписанным углом, он равен половине соответствующей дуги, то есть половине дуги BN.

5. Так как угол BAM (являющийся вписанным углом) равен половине угла BAN, то он равен \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot\) угла ANC = \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 120° = 30°\).

6. Таким образом, угол BAM равен 30°.

7. Поскольку угол ABM является центральным углом, он равен удвоенному углу BAM, то есть 2 \(\cdot\) 30° = 60°.

8. Так как угол BAN + угол ABN + угол ANC = 180° (сумма углов, образующихся на хорде), то угол ABN = 180° - 120° - 60° = 60°.

9. Заметим, что угол ABN является вписанным углом, и, следовательно, он равен половине дуги BN.

10. Таким образом, угол ABN равен половине дуги BN и равен 60°.

11. Следовательно, градусная мера дуги BN составляет 2 \(\cdot\) угол ABN = 2 \(\cdot\) 60° = 120°.

Таким образом, мы получили, что градусная мера дуги BN равна 120°.