Какова градусная мера угла М треугольника MNT, если M точка (-1, 1, 3), N точка (3, -1, 1), T точка (1

Morskoy_Shtorm

19

Для определения градусной меры угла М треугольника MNT, нам понадобится знание векторов и скалярного произведения.

1. Начнем с определения векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\).
Вектор \(\overrightarrow{MN}\) можно получить, вычислив разность координат вектора N и вектора M:
\(\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M) = (3 - (-1), (-1) - 1, 1 - 3) = (4, -2, -2)\).

Вектор \(\overrightarrow{MT}\) будет равен разности координат вектора T и вектора M:
\(\overrightarrow{MT} = (x_T - x_M, y_T - y_M, z_T - z_M) = (1 - (-1), 1 - 1, 1 - 3) = (2, 0, -2)\).

2. Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\).
Скалярное произведение двух векторов находится по формуле:
\(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT} = x_{MN} \cdot x_{MT} + y_{MN} \cdot y_{MT} + z_{MN} \cdot z_{MT}\).

Подставив значения координат, получим:
\(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT} = 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 + (-2) \cdot (-2) = 8 + 0 + 4 = 12\).

3. Для определения градусной меры угла М, нам нужно найти длины векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\).
Длина вектора вычисляется по формуле:
\(\lVert \overrightarrow{V} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Для \(\overrightarrow{MN}\):
\(\lVert \overrightarrow{MN} \rVert = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24}\).

Для \(\overrightarrow{MT}\):
\(\lVert \overrightarrow{MT} \rVert = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8}\).

4. Теперь можем найти градусную меру угла М с помощью формулы:
\(\cos(\angle M) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT}}{\lVert \overrightarrow{MN} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{MT} \rVert}\).

Подставив значения, получим:
\(\cos(\angle M) = \frac{12}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{8}} = \frac{12}{\sqrt{192}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}\).

5. Для определения градусной меры угла М, нам потребуется нахождение арккосинуса от значения \(\cos(\angle M)\).
\(\angle M = \arccos\left(\frac{3}{2\sqrt{3}}\right)\).

6. Вычислим значение угла М, используя калькулятор или таблицу значений функции арккосинуса.
\(\angle M \approx 27.18\) градусов.

Таким образом, градусная мера угла М треугольника MNT приближенно равна 27.18 градусов.