Какова групповая скорость для различных законов дисперсии, если фазовая скорость: а) υ1 = a ; б) υ 2 = b λ ; в) υ

Valera

24

Конечно! Давайте рассмотрим каждый из законов дисперсии по очереди и определим соответствующую групповую скорость для заданных фазовых скоростей.

а) Закон дисперсии: \(\nu_1 = a\)

Для такого закона дисперсии фазовая скорость не зависит от длины волны. При этом групповая скорость определяется следующим образом:

\[v_g = \frac{d\omega}{dk}\]

где \(\omega\) - циклическая частота, связанная с фазовой скоростью следующим образом:

\(\omega = 2\pi\nu_1 = 2\pi a\)

Поставив в выражении для групповой скорости \(\frac{d\omega}{dk}\), где \(k\) - волновое число, получим:

\[v_g = \frac{d}{dk}(2\pi a) = 0\]

Таким образом, для данного закона дисперсии групповая скорость равна нулю.

б) Закон дисперсии: \(\nu_2 = b\lambda\)

В этом случае фазовая скорость пропорциональна длине волны. Групповую скорость можно выразить следующим образом:

\[v_g = \frac{d\omega}{dk}\]

Сначала определим \(\omega\) с использованием фазовой скорости:

\(\omega = 2\pi\nu_2 = 2\pi b\lambda\)

Теперь продифференцируем \(\omega\) по \(k\):

\[\frac{d\omega}{dk} = \frac{d}{dk}(2\pi b\lambda)\]

Обратите внимание, что \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\). Поэтому заменим \(\lambda\) на \(\frac{2\pi}{k}\):

\[\frac{d\omega}{dk} = \frac{d}{dk}\left(2\pi b\left(\frac{2\pi}{k}\right)\right) = -\frac{4\pi^2 b}{k^2}\]

Таким образом, для данного закона дисперсии групповая скорость равна \(-\frac{4\pi^2 b}{k^2}\).

в) Закон дисперсии: \(\nu_3 = ck^2\)

В этом случае фазовая скорость пропорциональна квадрату волнового числа \(k\). Групповую скорость также можно найти с использованием выражения:

\[v_g = \frac{d\omega}{dk}\]

Сначала найдем \(\omega\) с использованием фазовой скорости:

\(\omega = 2\pi\nu_3 = 2\pi ck^2\)

Теперь продифференцируем \(\omega\) по \(k\):

\[\frac{d\omega}{dk} = \frac{d}{dk}(2\pi ck^2)\]

Выполним дифференцирование:

\[\frac{d\omega}{dk} = \frac{d}{dk}(2\pi ck^2) = 4\pi ck\]

Таким образом, для данного закона дисперсии групповая скорость равна \(4\pi ck\).

В итоге, групповые скорости для заданных фазовых скоростей имеют вид:

а) \(v_g = 0\)

б) \(v_g = -\frac{4\pi^2 b}{k^2}\)

в) \(v_g = 4\pi ck\)