Какова характеристика множества решений неравенства х^2 + 8х - 9 ≥ 0)? Доступны ли у вас специалисты в области

Пупсик

25

Конечно у нас есть специалисты в области математики, и я готов помочь вам с решением этой задачи.

Для начала нам нужно рассмотреть множество решений неравенства \(x^2 + 8x - 9 \geq 0\). Чтобы найти множество решений, мы должны определить, в каких интервалах значение \(x\) делает левую часть неравенства неотрицательной.

Первым шагом в решении данной задачи будет нахождение корней квадратного уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\). Решим это уравнение с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 8\), и \(c = -9\).

В нашем случае, \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\).

Так как дискриминант положительный, это означает, что у уравнения есть два различных действительных корня. Давайте найдем эти корни.

Используя формулу корней квадратного уравнения, мы получим:

\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = -9\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = 1\]

Таким образом, уравнение \(x^2 + 8x - 9 = 0\) имеет два корня: \(x_1 = -9\) и \(x_2 = 1\).

Теперь давайте построим знаковую линию для \(x^2 + 8x - 9\). Разместим корни на этой линии:

\(-9\) \(1\)

Теперь выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов, образованных корнями. Хорошим выбором будет ноль и все точки, находящиеся слева и справа от корней.

Выберем тестовую точку между \(-\infty\) и \(-9\). Давайте возьмем \(x = -10\):

Подставим эту точку в исходное неравенство:

\((-10)^2 + 8(-10) - 9 = 100 - 80 - 9 = 11\)

Так как значение слева от неравенства положительное, то все значения на этом интервале \(x < -9\) удовлетворяют исходному неравенству.

Выберем следующую тестовую точку между \(-9\) и \(1\). Давайте возьмем \(x = 0\):

\((0)^2 + 8(0) - 9 = -9\)

Так как это значение отрицательное, то все значения на этом интервале \(-9 \leq x \leq 1\) не удовлетворяют исходному неравенству.

Наконец, выберем тестовую точку между \(1\) и \(+\infty\). Давайте возьмем \(x = 2\):

\((2)^2 + 8(2) - 9 = 4 + 16 - 9 = 11\)

Опять же, значение положительное. Значит, все значения на интервале \(x > 1\) удовлетворяют исходному неравенству.

Множество решений неравенства \(x^2 + 8x - 9 \geq 0\) представляет собой объединение интервалов, где условие истинно. Итак, множество решений можно записать так:

\[x \in (-\infty, -9] \cup (1, +\infty)\]

Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация помогла вам понять характеристику множества решений неравенства \(x^2 + 8x - 9 \geq 0\). Если у вас есть еще вопросы или потребуется помощь в других математических задачах, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.