Какое неравенство нужно решить, если корень из 4х-х^2 больше, чем -2-3х^2?

Ластик

31

Для начала, нам нужно составить неравенство, используя данную информацию. Дано, что корень из \(4x-x^2\) больше, чем \(-2-3x^2\).

Чтобы решить это, давайте начнем с полного квадратного выражения:

\((2x - a)^2 = 4x - x^2\)

Раскрывая скобки, получим:

\(4x^2 - 4ax + a^2 = 4x - x^2\)

Заключим, что:

\(4x^2 - 4ax + a^2 - 4x + x^2 = 0\)

Объединяя подобные слагаемые:

\(5x^2 - 4ax + a^2 - 4x = 0\)

Теперь у нас есть уравнение. Для решения этого уравнения, нам нужно найти значения коэффициентов \(a\), \(b\), и \(c\). Сравнивая это уравнение с общим уравнением квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c = 0\), мы можем сделать следующие выводы:

\(a = 5\), \(b = -4a\), \(c = a^2 - 4a\)

Теперь, решим этот квадратный трехчлен, чтобы найти значения \(x\). Используем квадратное уравнение, которое имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(5x^2 - 4ax + a^2 - 4x = 0\)

Мы можем привести это к стандартному виду, разделив все на 5:

\(x^2 - \frac{4a}{5}x + \frac{a^2}{5} - \frac{4}{5}x = 0\)

Подставим значения коэффициентов \(a\), \(b\), и \(c\):

\(x^2 - \frac{4(5)}{5}x + \frac{(5)^2}{5} - \frac{4}{5}x = 0\)

Упростим:

\(x^2 - 4x + 5 - \frac{4}{5}x = 0\)

Теперь решим это уравнение. Для начала, приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю:

\(x^2 - \frac{20}{5}x + \frac{25}{5} - \frac{4}{5}x = 0\)

Упростим дальше, объединяя подобные слагаемые:

\(x^2 - \frac{24}{5}x + \frac{25}{5} = 0\)

Теперь, давайте решим это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение. Выберем квадратное уравнение для нашего решения.

У нас имеется уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -\frac{24}{5}\), и \(c = \frac{25}{5}\).

Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней этого уравнения. Формула дискриминанта обозначается как \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае:

\(D = (-\frac{24}{5})^2 - 4(1)(\frac{25}{5})\)

\(D = \frac{576}{25} - \frac{100}{5}\)

\(D = \frac{576}{25} - \frac{500}{25}\)

\(D = \frac{76}{25}\)

Теперь, используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x = \frac{-(-\frac{24}{5}) \pm \sqrt{\frac{76}{25}}}{2(1)}\)

\(x = \frac{\frac{24}{5} \pm \frac{\sqrt{76}}{5}}{2}\)

Упростим:

\(x = \frac{24 \pm \sqrt{76}}{10}\)

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти значения \(x\).

Таким образом, решением уравнения \(\sqrt{4x-x^2} > -2-3x^2\) будет:

\[x \in \left(\frac{24 + \sqrt{76}}{10}, \frac{24 - \sqrt{76}}{10}\right)\]

Это интервал, в котором неравенство выполняется.