Какова индукция магнитного поля в центре кругового проводника радиусом 10 см, если через него протекает ток 5

Yakor

4

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа. В этом случае, чтобы найти индукцию магнитного поля \(B\) в центре кругового проводника, просто нам нужно сложить вклады магнитного поля каждого элемента этого проводника.

Сначала воспользуемся формулой для расчета магнитного поля от элементарной проводящей петли:

\[dB = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dl \cdot \sin(\theta)}}{{4\pi \cdot r^2}}\]

Где:
\(dB\) - элементарное магнитное поле,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) Тл/А·м),
\(I\) - сила тока проводника,
\(dl\) - элементарный перемещение по длине проводника,
\(\theta\) - угол между направлением элементарного перемещения \(dl\) и радиус-вектором от элементарной петли до центра проводника,
\(r\) - расстояние от элементарной петли до центра проводника.

Поскольку в нашем случае проводник имеет форму круга, мы должны учесть все элементарные перемещения по длине проводника. Однако, так как проводник очень маленький, мы можем считать, что все элементарные перемещения \(dl\) находятся на одинаковом расстоянии от центра круга.

Теперь мы можем выразить элементарное магнитное поле \(dB\) в центре кругового проводника:

\[dB = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dl}}{{4\pi \cdot r^2}}\]

Зная, что радиус кругового проводника равен 10 см (или 0,1 м) и через него протекает ток 5 А, мы можем найти элементарное магнитное поле \(dB\) в центре кругового проводника:

\[dB = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5 \cdot dl}}{{4\pi \cdot (0,1)^2}} = \frac{{5 \cdot dl}}{{2 \cdot 10^{-2}}} \ Тл\]

Итак, чтобы найти магнитное поле \(B\) в центре кругового проводника, нам нужно сложить элементарные магнитные поля \(dB\) вдоль всего проводника:

\[B = \int dB = \int \frac{{5 \cdot dl}}{{2 \cdot 10^{-2}}} = \frac{5}{2 \cdot 10^{-2}} \int dl\]

Так как длинный проводник пересекает круговой проводник перпендикулярно плоскости, мы можем считать, что его элементарные перемещения \(dl\) расположены на одинаковом расстоянии и создают окружность длиной проводника.

Таким образом, длина проводника равна периметру круга:

\[L = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot 0,1 = 0,2\pi \ м\]

Заменяя это значение в наше уравнение, получаем:

\[B = \frac{5}{2 \cdot 10^{-2}} \int_0^{0,2\pi} dl\]

Вычисляя интеграл, получаем:

\[B = \frac{5}{2 \cdot 10^{-2}} \cdot 0,2\pi = 25\pi \ Тл\]

Таким образом, индукция магнитного поля в центре кругового проводника радиусом 10 см, через который протекает ток 5 А, при наличии длинного проводника с током 15,7 А, пересекающего его перпендикулярно плоскости, составляет \(25\pi\) Тл.