Какова индукция магнитного поля в точках на оси, проходящей через центры двух круговых витков, отстоящих друг от друга

Pyatno

4

Для решения этой задачи используем закон Био-Савара-Лапласа, который говорит о том, что индукция магнитного поля \(B\) в точке на оси витка, создаваемая током \(I\) проходящим через него, определяется формулой:

\[B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \cdot R^2}{(R^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}\]

где:
\(\mu_0\) = 4π × 10^(-7) Тл/А·м - магнитная постоянная в вакууме,
\(R\) - расстояние от точки до центра витка,
\(x\) - расстояние от точки до оси витка.

В данной задаче у нас два витка, поэтому полный поток магнитного поля будет определяться суммой вкладов каждого витка в отдельности.

Начнем с вычисления вклада первого витка, который находится на расстоянии \(d\) = \(l - r\) от точки на оси.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i_1 \cdot r_1^2}{(r_1^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}\]

Аналогично, вклад второго витка, который находится на расстоянии \(d\) = \(l + r\) от точки на оси, будет равен:

\[B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i_2 \cdot r_2^2}{(r_2^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}\]

Теперь, чтобы найти общий вклад обоих витков, мы просто складываем значения: \(B = B_1 + B_2\).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i_1 \cdot r_1^2}{(r_1^2 + (l - r)^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i_2 \cdot r_2^2}{(r_2^2 + (l + r)^2)^{\frac{3}{2}}}\]

Теперь мы можем построить график зависимости \(B\) от \(r\). Для этого будем поочередно подставлять различные значения \(r\) и вычислять соответствующие значения \(B\) с использованием полученной формулы.

Однако, для удобства наблюдения графика, сначала приведем формулу к более удобному виду.

\[
B = \frac{\mu_0 \cdot i_1 \cdot r_1^2}{4\pi \cdot (r_1^2 + (l - r)^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\mu_0 \cdot i_2 \cdot r_2^2}{4\pi \cdot (r_2^2 + (l + r)^2)^{\frac{3}{2}}}
\]

Теперь видно, что формула зависит только от переменной \(r\), поэтому мы можем выбирать разные значения \(r\) и вычислять соответствующие значения \(B\). Получившуюся последовательность значений мы можем внести в таблицу и построить график.

Например, выберем несколько значений \(r\): \(r = 0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2\) метра.

Подставляя каждое значение \(r\) в формулу, получим соответствующие значения \(B\).

\[r = 0 \Rightarrow B = \frac{\mu_0 \cdot i_1 \cdot r_1^2}{4\pi \cdot (r_1^2 + (l - r)^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\mu_0 \cdot i_2 \cdot r_2^2}{4\pi \cdot (r_2^2 + (l + r)^2)^{\frac{3}{2}}}\]

\[r = 0.05 \Rightarrow B = \frac{\mu_0 \cdot i_1 \cdot r_1^2}{4\pi \cdot (r_1^2 + (l - r)^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\mu_0 \cdot i_2 \cdot r_2^2}{4\pi \cdot (r_2^2 + (l + r)^2)^{\frac{3}{2}}}\]

\[r = 0.1 \Rightarrow B = \frac{\mu_0 \cdot i_1 \cdot r_1^2}{4\pi \cdot (r_1^2 + (l - r)^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\mu_0 \cdot i_2 \cdot r_2^2}{4\pi \cdot (r_2^2 + (l + r)^2)^{\frac{3}{2}}}\]

\[r = 0.15 \Rightarrow B = \frac{\mu_0 \cdot i_1 \cdot r_1^2}{4\pi \cdot (r_1^2 + (l - r)^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\mu_0 \cdot i_2 \cdot r_2^2}{4\pi \cdot (r_2^2 + (l + r)^2)^{\frac{3}{2}}}\]

\[r = 0.2 \Rightarrow B = \frac{\mu_0 \cdot i_1 \cdot r_1^2}{4\pi \cdot (r_1^2 + (l - r)^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\mu_0 \cdot i_2 \cdot r_2^2}{4\pi \cdot (r_2^2 + (l + r)^2)^{\frac{3}{2}}}\]

Затем мы можем построить график, где значение \(r\) будет на оси абсцисс, а значение \(B\) - на оси ординат. Точки, соответствующие полученным значениям, будут отражать зависимость \(B = f(r)\).

Таким образом, при помощи данной процедуры мы сможем построить график зависимости \(B\) от \(r\) для данной системы.