Какова индукция магнитного поля в точке, расположенной на биссектрисе угла, удаленной от его вершины на определенное

Yan

5

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться законом Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти магнитное поле от прямого провода. Формула для этого закона выглядит следующим образом:

\[
\Delta B = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot \Delta s \cdot \sin(\theta)}}{{4 \cdot \pi \cdot r^2}}
\]

Где:
\(\Delta B\) - магнитное поле, вызванное малым участком провода,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)),
\(I\) - сила тока в проводе,
\(\Delta s\) - длина участка провода, вызывающего магнитное поле,
\(\theta\) - угол между вектором, направленным от участка провода к точке, и осью, перпендикулярной проводу,
\(r\) - расстояние от участка провода до точки, в которой мы хотим найти магнитное поле.

Нам нужно найти магнитное поле в точке, находящейся на биссектрисе угла, удаленной от его вершины на определенное расстояние. Поскольку угол изогнутого провода составляет 120 градусов, у нас есть симметрия и можем рассмотреть только одну из двух симметричных частей провода - либо левую, либо правую часть.

Предположим, что наша точка находится на биссектрисе угла на расстоянии \(r\) от вершины и удалена от прямого провода на \(d\) вдоль биссектрисы угла. Изобразим схему ситуации и введем необходимые обозначения:

\[
\begin{array}{ccc}
& & P \\
& & | \\
& & d \\
& D & | \\
& | & | \\
A & | & | & B \\
| & & \theta & | \\
| & & | & | \\
| & & | & | \\
& C & | \\
& & | \\
\end{array}
\]

Где:
\(A\) и \(B\) - вершины угла, из которых выходят прямые провода,
\(C\) - точка, находящаяся на биссектрисе угла, удаленная от вершины на определенное расстояние \(r\),
\(D\) - точка на прямом проводе на расстоянии \(d\) от точки \(C\),
\(P\) - точка, в которой мы хотим найти магнитное поле.

Обратите внимание, что \(CDB\) - прямоугольный треугольник, поскольку \(D\) находится на биссектрисе угла. Также угол \(\theta\) равен 60 градусам, поскольку провод изогнут под углом 120 градусов.

Теперь мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа для нахождения магнитного поля нашего провода в точке \(P\). В общем случае \(I \cdot \Delta s\) будет постоянным, так как мы рассматриваем маленький участок провода. Мы можем написать формулу для магнитного поля в точке \(P\) при помощи интеграла:

\[
B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4 \cdot \pi}} \int \frac{{\Delta s \cdot \sin(\theta)}}{{r^2}}
\]

Мы можем разделить этот интеграл на две части, так как у нас есть симметрия:

\[
B = 2 \cdot \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4 \cdot \pi}} \int \frac{{\Delta s \cdot \sin(\theta)}}{{r^2}}
\]

Теперь нам нужно выразить \(\Delta s\) и \(\sin(\theta)\) через переменные, которые мы знаем. Поскольку \(\sin(\theta) = \sin(60^\circ) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\), мы можем заменить \(\sin(\theta)\) в формуле:

\[
B = \frac{{\sqrt{3} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{8 \cdot \pi}} \int \frac{{\Delta s}}{{r^2}}
\]

Тогда нам нужно выразить \(\Delta s\) через переменные, которые также нам известны. Рассмотрим следующую схему маленького участка провода:

\[
\begin{array}{ccc}
& & \Delta s \\
& & | \\
& & d \\
& D & | \\
& | & | \\
A & | & | \\
\end{array}
\]

В этой схеме \(\Delta s\) и \(d\) - это две стороны прямоугольного треугольника \(CDB\).

Поскольку \(\Delta s\) - это лишь часть длины провода, мы можем записать выражение для \(\Delta s\) через угол и радиус провода:

\[
\Delta s = r \cdot \theta
\]

Теперь мы можем заменить \(\Delta s\) в формуле:

\[
B = \frac{{\sqrt{3} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{8 \cdot \pi}} \int \frac{{r \cdot \theta}}{{r^2}}
\]

Интегрируя это выражение, мы получим:

\[
B = \frac{{\sqrt{3} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{8 \cdot \pi}} \cdot \frac{{\theta^2}}{{r}}
\]

Теперь мы можем заменить \(\theta\) на 120 градусов (\(\theta = 120^\circ\)) и продолжить упрощение:

\[
B = \frac{{\sqrt{3} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{8 \cdot \pi}} \cdot \frac{{(120^\circ)^2}}{{r}}
\]

Наконец, мы можем упростить эту формулу, заменив \(120^\circ\) на радианы (\(2\pi\) радианы) и выразив \(\mu_0\) численно ( \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)):

\[
B = \frac{{\sqrt{3} \cdot (4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}) \cdot I}}{{8 \cdot \pi \cdot r}}
\]

Таким образом, индукция магнитного поля в точке, расположенной на биссектрисе угла, удаленной от его вершины на определенное расстояние, вдоль бесконечно длинного прямого провода, изогнутого под углом 120 градусов, где течет ток величиной \(I\), будет равна:

\[
B = \frac{{\sqrt{3} \cdot (4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}) \cdot I}}{{8 \cdot \pi \cdot r}}
\]

Это детальное решение задачи, которое объясняет каждый шаг и обосновывает использование соответствующих формул.