Какова кинетическая энергия отдачи свободного электрона при комптоновском рассеянии фотона с энергией, равной энергии

Zabludshiy_Astronavt

25

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу о кинетической энергии отдачи свободного электрона при комптоновском рассеянии фотона с энергией, равной энергии покоя электрона, на угол 90 градусов.

Кинетическая энергия отдачи свободного электрона может быть найдена с помощью закона сохранения энергии и закона сохранения импульса.

Поскольку рассматривается комптоновское рассеяние, падающий фотон рассеивается на свободном электроне и приобретает дополнительную энергию, а также меняет свою длину волны. Это происходит из-за упругого столкновения между фотоном и электроном.

Из закона сохранения энергии можно записать следующее уравнение:

\[
hf + mc^2 = \left(hf" + \frac{m{v"}^2}{2}\right) + mc^2
\]

где:
\(h\) - постоянная Планка;
\(f\) - начальная частота фотона;
\(m\) - масса электрона;
\(c\) - скорость света;
\(f"\) - конечная частота рассеянного фотона;
\(v"\) - скорость рассеянного электрона.

Также, используя закон сохранения импульса, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{hf}{c} = \frac{hf"}{c} + mv"
\]

Теперь, чтобы найти кинетическую энергию отдачи свободного электрона, нам нужно найти изменение энергии электрона между начальным и конечным состояниями. Для этого мы должны решить систему из двух уравнений, описывающих энергию и импульс.

Добавим уравнения и приведем их к более удобному виду:

\[
hf + mc^2 = hf" + \frac{m{v"}^2}{2} + mc^2
\]

\[
hf - hf" = \frac{m{v"}^2}{2}
\]

\[
h(f - f") = \frac{m{v"}^2}{2}
\]

Запишем также выражение для частичной длины волны (дроби де Бройля) электрона до и после столкновения:

\[
\lambda - \lambda" = \frac{h}{mv"}
\]

Теперь, найдем частоту сдвига фотона, используя известные величины:

\[
f - f" = \frac{mc^2}{h}\left(1 - \frac{1}{\sqrt[]{1 - \left(\frac{v"}{c}\right)^2}}\right)
\]

Учитывая, что при рассеянии фотона на 90 градусов угле, длина волны фотона рассеяния будет максимальной и дана выражением:

\[
\lambda"_{max} = \frac{h}{mc}
\]

Тогда, подставим найденные значения в предыдущее уравнение:

\[
f - \frac{c}{\lambda"_{max}} = \frac{mc^2}{h}\left(1 - \frac{1}{\sqrt[]{1 - \left(\frac{v"}{c}\right)^2}}\right)
\]

Упростив это уравнение, получим:

\[
v" = c\left(1 - \sqrt[]{1 - \left(\frac{h(f - \frac{c}{\lambda"_{max}})}{mc^2}\right)^2}\right)
\]

Теперь, когда у нас есть значение скорости \(v"\), мы можем использовать его для нахождения кинетической энергии отдачи электрона:

\[
KE = \frac{1}{2}mv"^2
\]

Вставляя найденную скорость \(v"\) в это уравнение, мы получим окончательное значение кинетической энергии отдачи электрона.

Пожалуйста, проанализируйте данные уравнения и выполните необходимые вычисления, чтобы получить значение кинетической энергии отдачи электрона. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь в решении, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.