Какова максимальная энергия магнитного поля в контуре при заданном законе изменения заряда конденсатора q=10⁻⁴cos10πt

Zagadochnyy_Paren

44

Чтобы найти максимальную энергию магнитного поля в контуре, мы можем использовать формулу для энергии магнитного поля в контуре, которая записывается как:

\[W = \frac{1}{2}LI^2\]

Где \(W\) - энергия магнитного поля в джоулях, \(L\) - индуктивность контура в генри, а \(I\) - максимальное значение тока в контуре в амперах.

В данной задаче нам дан изменяющийся со временем заряд конденсатора \(q = 10^{-4}\cos(10\pi t)\) и емкость конденсатора \(C = 1\) микрофарад.

Для нахождения максимального значения тока в контуре, мы можем использовать следующее соотношение:

\[I = \frac{dq}{dt}\]

Где \(I\) - ток в контуре, \(q\) - заряд конденсатора, а \(t\) - время.

Для нахождения индуктивности контура, мы можем использовать формулу для индуктивности, которая выражается как:

\[L = \frac{1}{2} \frac{q_{max}}{\omega}\]

Где \(L\) - индуктивность контура, \(q_{max}\) - максимальное значение заряда на конденсаторе, а \(\omega\) - угловая скорость изменения заряда.

В данном случае \(\omega = 10\pi\) рад/с.

Теперь мы можем решить задачу, подставив значения в соответствующие формулы.

Получим:

\[q_{max} = 10^{-4} \cdot 1 = 10^{-4}\] Кл

\[L = \frac{1}{2} \cdot \frac{10^{-4}}{10\pi} = \frac{1}{20\pi} \] Гн

Затем мы можем найти максимальное значение тока в контуре:

\[I = \frac{dq}{dt} = \frac{d(10^{-4}\cos(10\pi t))}{dt} = -10^{-4} \cdot 10\pi\sin(10\pi t)\] А

Максимальное значение происходит, когда \(\sin(10\pi t) = 1\), т.е. в момент времени \(t = \frac{1}{10\pi}\) секунд.

\[I_{max} = -10^{-4} \cdot 10\pi \cdot 1 = -10^{-3} \pi\] А

Теперь, используя найденные значения для \(L\) и \(I_{max}\), мы можем найти максимальную энергию магнитного поля в контуре:

\[W = \frac{1}{2}LI_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20\pi} \cdot (-10^{-3}\pi)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20\pi} \cdot 10^{-6}\pi^2 = \frac{1}{40\pi} \cdot 10^{-6}\pi^2 = \frac{1}{40} \cdot 10^{-6}\pi = \frac{10^{-6}\pi}{40} \] Дж

Округлим ответ до двух знаков после запятой:

\[W \approx 0,00005 \] Дж

Ответ: выберите вариант ответа 3) 0,5 Дж.