Какова масса диска сплошной дисковой тормоз неподвижный от действия? У диска с радиусом r = 20 см, вращающегося

Skolzyaschiy_Tigr

63

Для решения этой задачи мы можем использовать законы динамики и законы сохранения энергии. Для начала, найдем момент инерции диска.

Момент инерции \(I\) можно рассчитать по формуле:

\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

где \(m\) - масса диска, \(r\) - радиус диска.

Сначала найдем значение момента инерции. Подставим известные значения:

\[I = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (0.2)^2 = 0.02m\]

Далее, воспользуемся законом сохранения момента импульса:

\[I \cdot \omega_1 = I \cdot \omega_2 + M \cdot t\]

где \(\omega_1\) - начальная угловая скорость диска, \(\omega_2\) - конечная угловая скорость диска после замедления, \(M\) - тормозящий момент, \(t\) - время работы тормоза.

В данной задаче мы знаем следующие значения: \(\omega_1 = 2\pi \cdot n_1\) (где \(n_1\) - начальная скорость в об/мин), \(\omega_2 = 2\pi \cdot n_2\) (где \(n_2\) - конечная скорость в об/мин), \(M = 0.38\ Н \cdot м\), \(t\) - время работы тормоза.

Для нахождения времени работы тормоза воспользуемся следующим соотношением:

\[t = \frac{2\pi n_1}{n_1 - n_2}\]

Подставим известные значения:

\[t = \frac{2\pi \cdot 360}{360 - 0} = \frac{2\pi \cdot 360}{360} = 2\pi\]

Теперь можем рассчитать конечную угловую скорость \(\omega_2\):

\[I \cdot \omega_1 = I \cdot \omega_2 + M \cdot t\]

\[0.02m \cdot \omega_1 = 0.02m \cdot \omega_2 + 0.38\ Н \cdot м \cdot 2\pi\]

\[\omega_2 = \omega_1 - \frac{0.38\ Н \cdot м \cdot 2\pi}{0.02m}\]

Так как начальная и конечная скорости связаны с помощью формулы \(\omega_2 = \frac{s}{t}\), где \(s\) - путь, пройденный диск, \(t\) - время работы тормоза, и учитывая, что \(s = 2\pi r \cdot n_2\), где \(r\) - радиус диска, выражаем радиус диска:

\[\omega_2 = \frac{2\pi r \cdot n_2}{t}\]

Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно \(n_2\):

\[\frac{2\pi r \cdot n_2}{2\pi} = \omega_1 - \frac{0.38\ Н \cdot м \cdot 2\pi}{0.02m}\]

\[\frac{2\pi \cdot 0.2 \cdot n_2}{2\pi} = 2\pi \cdot 360 - \frac{0.38\cdot 2\pi}{0.02m}\]

\[0.2 \cdot n_2 = 360 - 0.38 \cdot \frac{1}{m}\]

\[n_2 = \frac{360 - 0.38 \cdot \frac{1}{m}}{0.2}\]

Наконец, зная, что диск требуется 60 оборотов, чтобы остановиться, мы можем записать:

\[n_2 = \frac{60\ об}{t}\]

где \(t\) - время работы тормоза, которое мы уже вычислили ранее.

Подставляем известные значения:

\[\frac{360 - 0.38 \cdot \frac{1}{m}}{0.2} = \frac{60\ об}{2\pi}\]

Решаем это уравнение относительно \(m\):

\[\frac{360 - 0.38 \cdot \frac{1}{m}}{0.2} = \frac{60}{2\pi}\]

Далее преобразуем уравнение:

\[360 - 0.38 \cdot \frac{1}{m} = \frac{60}{2\pi} \cdot 0.2\]

\[360 - 0.38 \cdot \frac{1}{m} = \frac{10}{\pi}\]

\[0.38 \cdot \frac{1}{m} = 360 - \frac{10}{\pi}\]

\[\frac{1}{m} = \frac{360 - \frac{10}{\pi}}{0.38}\]

Выражаем \(m\):

\[m = \frac{0.38}{360 - \frac{10}{\pi}}\]

Подставляем значения и рассчитываем массу диска:

\[m = \frac{0.38}{360 - \frac{10}{\pi}} \approx 0.0003359\ кг\]

Таким образом, масса диска, требуемая для остановки, примерно равна 0.0003359 кг.