Какова мера угла ∡BCK в треугольнике ABC, если известно, что ∡AKB = 144° и биссектрисы ∡A и ∡B пересекаются в точке

Zagadochnyy_Zamok

28

Для решения этой задачи, давайте вспомним некоторые свойства биссектрис треугольника. Биссектриса угла делит его на два равных угла. Также, биссектриса угла является прямой, которая делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные смежным сторонам.

В данной задаче у нас есть треугольник ABC, где ∡AKB равно 144°, а биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Наша задача - найти меру угла ∡BCK.

Итак, давайте начнем с построения. Построим биссектрису угла A и обозначим точку пересечения с противоположной стороной BC как точку M. Затем построим биссектрису угла B и обозначим точку пересечения с противоположной стороной AC как точку N.

Теперь обратимся к полученным построениям. Поскольку биссектриса разделяет угол на два равных угла, у нас есть:

∡MAK = ∡KAB и ∡ABK = ∡KBM

Также, по свойству биссектрисы, мы знаем, что отрезки AM и CM пропорциональны сторонам BC и AB соответственно, и отрезки BN и CN пропорциональны сторонам AC и BC соответственно.

Используя эти свойства, мы можем сделать следующие выводы:

1) Из угла между биссектрисой и стороной треугольника следует, что угол между биссектрисой и противоположной стороной равен половине измерения исходного угла. Таким образом, мы можем сказать, что ∡KAB = 72° и ∡KBM = 72°.

2) Используя пропорциональность, мы можем выразить отношение длин отрезков AM и CM в терминах длин сторон BC и AB:

\(\frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC}\)

Таким образом, мы можем написать:

\(\frac{AM}{BC-AM} = \frac{AB}{BC}\)

Подставляя значение ∡KAB = 72° и ∡KBM = 72°, мы можем прийти к следующей пропорции:

\(\frac{AM}{BC-AM} = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{AB+AC}\)

3) Мы также можем использовать пропорциональность для отрезков BN и CN:

\(\frac{BN}{CN} = \frac{AB}{AC}\)

4) Наконец, мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

∡BAC + ∡ABC + ∡ACB = 180°

Продолжим решение, решив пропорции и сделав некоторые алгебраические преобразования:

\(\frac{AM}{BC-AM} = \frac{AB}{AB+AC}\)

Рассмотрим только числители и заменим AB и AC соответствующими пропорциями:

\(AM \cdot (AB+AC) = AB \cdot (BC-AM)\)

\(AM \cdot AB + AM \cdot AC = AB \cdot BC - AM \cdot AB\)

\(2 \cdot AM \cdot AB = AB \cdot BC - AM \cdot AC\)

\(2 \cdot AM \cdot AB + AM \cdot AC = AB \cdot BC\)

Учитывая, что ∡KAB = 72° и ∡KBM = 72°, где AM/CB-AM = AB/AB+AC, мы можем заменить AM на AB \(\cdot\) (CB-AM)/(AB+AC):

\(2 \cdot AB \cdot \left(\frac{AB \cdot (CB-AM)}{AB+AC}\right) + AB \cdot AC = AB \cdot BC\)

Упростим это выражение:

\(\frac{2 \cdot AB^2 \cdot (CB-AM)}{AB+AC} + AB \cdot AC = AB \cdot BC\)

\(\frac{2 \cdot AB^2 \cdot CB - 2 \cdot AB^2 \cdot AM}{AB+AC} + AB \cdot AC = AB \cdot BC\)

Теперь можем решить эту уравнение для AM. После алгебраических преобразований получим:

\(2 \cdot AB^2 \cdot CB - 2 \cdot AB^2 \cdot AM + (AB+AC) \cdot AB \cdot AC = AB \cdot BC \cdot (AB+AC)\)

\(2 \cdot AB^2 \cdot CB + AB \cdot AC^2 = AB \cdot BC \cdot (AB+AC)\)

\(2 \cdot AB \cdot CB + AC^2 = BC \cdot (AB+AC)\)

Таким образом, мы получили уравнение, в котором не фигурирует AM. Теперь можно его решить:

\(2 \cdot AB \cdot CB + AC^2 = AB \cdot BC \cdot (AB+AC)\)

\(2 \cdot AB \cdot CB + AC^2 = AB \cdot BC \cdot AB + AB \cdot BC \cdot AC\)

\(AC^2 = AB^2 \cdot BC + AB \cdot BC \cdot AC - 2 \cdot AB \cdot CB\)

\(AC^2 - AB \cdot BC \cdot AC = AB^2 \cdot BC - 2 \cdot AB \cdot CB\)

\(AC \cdot (AC - AB \cdot BC) = AB \cdot (AB - 2 \cdot CB)\)

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить относительно AC:

\(AC = \frac{AB \cdot (2 \cdot CB - AB)}{AC - AB \cdot BC}\)

Следовательно, мы нашли меру угла ∡BCK. Ответ: мера угла ∡BCK равна \(AC = \frac{AB \cdot (2 \cdot CB - AB)}{AC - AB \cdot BC}\).