Какова наиболее прибыльная производственная программа автомобильного завода, учитывая, что прибыль от производства

Moroz

56

Для того чтобы определить наиболее прибыльную производственную программу автомобильного завода, нужно учесть количество произведенных машин каждого типа и прибыль, получаемую от их производства.

Пусть \(x\) - это количество машин типа А, а \(y\) - количество машин типа В, которые производит завод.

Тогда прибыль от производства машин типа А составит \(1200x\) у.е., а прибыль от производства машин типа В будет равна \(2400y\) у.е.

Таким образом, общая прибыль завода будет равна сумме прибылей от производства машин типа А и В:

\[
Прибыль = 1200x + 2400y \,у.е.
\]

Однако, на автомобильном заводе есть определенные ограничения на производство. Допустим, завод имеет ограничение по количеству рабочих часов, которое составляет 40 часов. Также предположим, что на производство одной машины типа А требуется 2 часа, а на производство машины типа В - 3 часа.

Таким образом, ограничение на количество часов можно записать следующим образом:

\[
2x + 3y \leq 40
\]

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
Прибыль = 1200x + 2400y \\
2x + 3y \leq 40
\end{cases}
\]

Будем решать эту систему методом графического изображения.

Для начала, построим график неравенства \(2x + 3y \leq 40\).

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & y & 2x + 3y \leq 40 \\
\hline
0 & 13,3 & 0 + 3 \times 13,3 = 39,9 \\
\hline
10 & 10 & 2 \times 10 + 3 \times 10 = 50 \\
\hline
20 & 3,3 & 2 \times 20 + 3 \times 3,3 = 46,6 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим график неравенства на плоскости с осями \(x\) и \(y\):

\[
\begin{array}{cc}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & 13,3 \\
\hline
10 & 10 \\
\hline
20 & 3,3 \\
\hline
\end{array}
&
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=7cm,
height=7cm,
grid=both,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!30},
axis lines=middle,
restrict y to domain=0:15,
enlargelimits={abs=0.5},
axis line style={latex-latex},
ticklabel style={font=\tiny,fill=white},
xlabel={$x$},
ylabel={$y$},
xlabel style={at={(ticklabel* cs:1)},
anchor=west,},
ylabel style={at={(ticklabel* cs:1)},
anchor=south,},
xtick={-5,5,10,15,20},
ytick={0,5,10,15},
ymin=0,
ymax=15,
xmin=-5,
xmax=25,
]
\addplot[name path=F, domain=0:30] {40 - (2*x)/3};
\addplot[color=blue,fill=blue,fill opacity=0.1] fill between[of=F and axis];
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\end{array}
\]

Теперь предположим, что у нас есть две точки - (0, 0) и (0, 10), соответствующие производству только машин типа А или только машин типа В, соответственно.

Подставим эти точки в уравнение \(Прибыль = 1200x + 2400y\) и найдем соответствующую прибыль для каждой точки.

Для точки (0, 0):

\[
Прибыль = 1200 \times 0 + 2400 \times 0 = 0 \, у.е.
\]

Для точки (0, 10):

\[
Прибыль = 1200 \times 0 + 2400 \times 10 = 24000 \, у.е.
\]

Теперь рассмотрим прямую, проходящую через эти две точки.

\[
\begin{array}{cc}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & 0 \\
\hline
0 & 10 \\
\hline
\end{array}
&
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=7cm,
height=7cm,
grid=both,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!30},
axis lines=middle,
restrict y to domain=0:15,
enlargelimits={abs=0.5},
axis line style={latex-latex},
ticklabel style={font=\tiny,fill=white},
xlabel={$x$},
ylabel={$y$},
xlabel style={at={(ticklabel* cs:1)},
anchor=west,},
ylabel style={at={(ticklabel* cs:1)},
anchor=south,},
xtick={-5,5,10,15,20},
ytick={0,5,10,15},
ymin=0,
ymax=15,
xmin=-5,
xmax=25,
]

\addplot[name path=F, domain=0:30] {40 - (2*x)/3};
\addplot[color=blue,fill=blue,fill opacity=0.1] fill between[of=F and axis];
\addplot[domain=-5:25, very thick, color=red] {2.4*x};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\end{array}
\]

Видно, что прямая \(y = 2.4x\) находится над областью графика неравенства \(2x + 3y \leq 40\), а значит нам интересны только точки на этой прямой, которые находятся в этой области.

Один из способов найти наиболее прибыльную производственную программу - это найти вершину этой области, которая находится на прямой \(y = 2.4x\).

Для этого, найдем точку пересечения прямой \(y = 2.4x\) с границей области графика неравенства \(2x + 3y \leq 40\).

Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
y = 2.4x \\
2x + 3y = 40
\end{cases}
\]

Решение этой системы можно найти методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Если мы решим эту систему, мы получим \(x = 10\) и \(y = 8\).

Таким образом, точка (10, 8) представляет собой наиболее прибыльную производственную программу для автомобильного завода.

Произведение 10 машин типа А и 8 машин типа В принесет заводу наибольшую прибыль.

Общая прибыль в этом случае будет:

\[
Прибыль = 1200 \times 10 + 2400 \times 8 = 12000 + 19200 = 31200 \, у.е.
\]