Расположите треугольники в порядке возрастания радиусов окружностей, описанных вокруг них. Треугольники со следующими

Ledyanaya_Pustosh

13

Чтобы расположить треугольники в порядке возрастания радиусов описанных окружностей, необходимо сначала вычислить радиус каждой окружности.

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, можно найти, используя формулу радиуса описанной окружности:
\[R = \frac{abc}{4S}\]
где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(S\) - его площадь.

Давайте вычислим радиусы окружностей для каждого треугольника:

1) Для треугольника со сторонами 6, 6, 7:
Поскольку треугольник является равнобедренным, его площадь можно найти с помощью формулы \(S = \frac{b \cdot h}{2}\), где \(b\) - основание равнобедренного треугольника, а \(h\) - высота, опущенная на это основание.
Определим \(b\) и \(h\):
\(b = 7\) (самая длинная сторона треугольника)
Разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя высоту из вершины с углом 90 градусов, разделяющую равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника.
Вычислим высоту с помощью теоремы Пифагора:
\(h = \sqrt{6^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{36 - \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{144}{4} - \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{95}{4}}\)
Теперь можно вычислить площадь:
\(S = \frac{7 \cdot \sqrt{\frac{95}{4}}}{2} = \frac{7 \sqrt{95}}{4}\)
Подставим значения в формулу радиуса описанной окружности:
\(R_1 = \frac{6 \cdot 6 \cdot 7}{4 \left(\frac{7 \sqrt{95}}{4}\right)} = \frac{36 \cdot 7}{7 \sqrt{95}} = \frac{252}{\sqrt{95}}\)

2) Для треугольника со сторонами 5, 7, 7:
Поскольку треугольник не является равнобедренным, мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника:
\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - его стороны.
Вычислим полупериметр и площадь:
\(p = \frac{5 + 7 + 7}{2} = \frac{19}{2}\)
\(S = \sqrt{\frac{19}{2} \left(\frac{19}{2}-5\right) \left(\frac{19}{2}-7\right) \left(\frac{19}{2}-7\right)} = \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \frac{15 \sqrt{19}}{4}\)
Подставим значения в формулу радиуса описанной окружности:
\(R_2 = \frac{5 \cdot 7 \cdot 7}{4 \left(\frac{15 \sqrt{19}}{4}\right)} = \frac{245}{15 \sqrt{19}}\)

3) Для треугольника со сторонами 5, 6, 8:
Как и в предыдущем случае, мы используем формулу Герона для вычисления площади треугольника:
\(p = \frac{5 + 6 + 8}{2} = \frac{19}{2}\)
\(S = \sqrt{\frac{19}{2} \left(\frac{19}{2}-5\right) \left(\frac{19}{2}-6\right) \left(\frac{19}{2}-8\right)} = \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{11}{2}} = \sqrt{\frac{19 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11}{4}} = \frac{77 \sqrt{19}}{4}\)
\(R_3 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 8}{4 \left(\frac{77 \sqrt{19}}{4}\right)} = \frac{240}{77 \sqrt{19}}\)

4) Для треугольника со сторонами 4, 6, 9:
Используем формулу Герона:
\(p = \frac{4 + 6 + 9}{2} = \frac{19}{2}\)
\(S = \sqrt{\frac{19}{2} \left(\frac{19}{2}-4\right) \left(\frac{19}{2}-6\right) \left(\frac{19}{2}-9\right)} = \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot \frac{13}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{19 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 5}{4}} = \frac{143 \sqrt{19}}{4}\)
\(R_4 = \frac{4 \cdot 6 \cdot 9}{4 \left(\frac{143 \sqrt{19}}{4}\right)} = \frac{216}{143 \sqrt{19}}\)

Теперь, когда у нас есть радиусы окружностей \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\), остается лишь упорядочить их в порядке возрастания:

Окружности, упорядоченные по возрастанию радиуса:
1) \(R_4 = \frac{216}{143 \sqrt{19}}\) (треугольник 4)
2) \(R_3 = \frac{240}{77 \sqrt{19}}\) (треугольник 3)
3) \(R_2 = \frac{245}{15 \sqrt{19}}\) (треугольник 2)
4) \(R_1 = \frac{252}{\sqrt{95}}\) (треугольник 1)

Таким образом, треугольник с сторонами 4, 6, 9 имеет наибольший радиус описанной окружности, а треугольник с сторонами 6, 6, 7 имеет наименьший радиус описанной окружности.