Какова напряженность в центре кругового контура с радиусом 12 см, где провода, подводящие к нему, проходят вдоль осей

Черная_Магия

53

Чтобы определить напряженность в центре кругового контура, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который гласит:

\[ \mathbf{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \frac{{\mathbf{dl} \times \mathbf{r}}}{{r^3}} \]

где:
\(\mathbf{B}\) - магнитная индукция,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А}\)),
\(I\) - сила тока в проводнике,
\(\mathbf{dl}\) - элементарный вектор длины проводника,
\(\mathbf{r}\) - радиус-вектор от элементарного участка проводника до точки, в которой мы хотим определить магнитное поле,
\(r\) - расстояние между элементарным участком проводника и точкой, в которой мы хотим определить магнитное поле.

Учитывая, что провода проходят вдоль осей x и y и что электрический ток в них равен 4 ампера, рассмотрим каждый провод по отдельности.

1. Для провода, проходящего вдоль оси x, магнитная индукция \(\mathbf{B}_x\) будет направлена по оси z. Расстояние от элементарного участка проводника до центра кругового контура составляет 12 см, что равно 0,12 метров. Также, для этого провода, вектор длины \(\mathbf{dl}_x\) будет направлен в положительном направлении оси x.

Тогда, используя формулу, мы можем вычислить магнитное поле от провода, проходящего вдоль оси x:

\[ \begin{align*} \mathbf{B}_x &= \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \frac{{\mathbf{dl}_x \times \mathbf{r}}}{{r^3}} \\ &= \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \frac{{dx \cdot \mathbf{r}}}{{r^3}} \\ \end{align*} \]

Так как элементарный вектор длины проводника \(\mathbf{dl}_x\) направлен в положительном направлении оси x, его проекция на вектор радиуса \(\mathbf{r}\) будет равна \(dx\), где \(dx\) - безразмерная переменная.

2. Для провода, проходящего вдоль оси y, магнитная индукция \(\mathbf{B}_y\) также будет направлена по оси z. Расстояние от элементарного участка проводника до центра кругового контура остается равным 0,12 метров. Вектор длины \(\mathbf{dl}_y\) будет направлен в положительном направлении оси y.

Таким образом, магнитное поле от провода, проходящего вдоль оси y, может быть вычислено по формуле:

\[ \mathbf{B}_y = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \frac{{\mathbf{dl}_y \times \mathbf{r}}}{{r^3}} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \frac{{dy \cdot \mathbf{r}}}{{r^3}} \]

где \(dy\) - безразмерная переменная, представляющая проекцию элементарного вектора длины проводника \(\mathbf{dl}_y\) на вектор радиуса \(\mathbf{r}\).

Теперь мы можем вычислить общее магнитное поле в центре кругового контура путем сложения векторов \(\mathbf{B}_x\) и \(\mathbf{B}_y\). Поскольку векторы \(\mathbf{B}_x\) и \(\mathbf{B}_y\) направлены вдоль оси z, их векторное сложение просто сводится к сложению амплитуд:

\[ \mathbf{B}_{\text{общ}} = \mathbf{B}_x + \mathbf{B}_y \]

\[ B_{\text{общ}} = \sqrt{{B_x}^2 + {B_y}^2} \]

Примем \(dx = dy = dr\) для упрощения вычислений. Тогда:

\[ B_{\text{общ}} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \sqrt{{\left(\frac{{d \cdot x}}{{r^3}}\right)^2 + \left(\frac{{d \cdot y}}{{r^3}}\right)^2}} \]

Подставим значения \(I = 4 \, \text{А}\), \(r = 0,12 \, \text{м}\) вместо \(d \cdot x\) и \(d \cdot y\) и найдем \(B_{\text{общ}}\):

\[ B_{\text{общ}} = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А} \cdot 4 \, \text{А}}}{{4\pi}} \sqrt{{\left(\frac{{0,12 \, \text{м} \cdot x}}{{0,12 \, \text{м}^3}}\right)^2 + \left(\frac{{0,12 \, \text{м} \cdot y}}{{0,12 \, \text{м}^3}}\right)^2}} \]

\[ B_{\text{общ}} = 4 \times 10^{-7} \sqrt{{\frac{{x^2 + y^2}}{{0,12^2}}}} \, \text{Тл} \]

Таким образом, максимальная подробность ответа на задачу состоит в выведении формулы для определения напряженности в центре кругового контура, объяснении использованных переменных и представлении окончательного выражения для \(B_{\text{общ}}\) в зависимости от координат \(x\) и \(y\).