Наскільки збільшиться швидкість руху супутника по орбіті, якщо радіус колової орбіти штучного супутника Землі збільшити

Южанин_6965

12

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться законом сохранения механической энергии. По этому закону, сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной на протяжении всего движения.

На начальной орбите, когда радиус и период обертания супутника равны \(R_1\) и \(T_1\) соответственно, его кинетическая энергия определяется формулой:
\[E_{kin_1} = \frac{1}{2}mv_1^2,\]
где \(m\) - масса супутника, а \(v_1\) - его скорость.

Также на начальной орбите супутник имеет потенциальную энергию, которая вычисляется с использованием закона всемирного тяготения:
\[E_{pot_1} = -\frac{GM_em}{R_1},\]
где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_e\) - масса Земли, \(m\) - масса супутника, а \(R_1\) - радиус орбиты.

Таким образом, на начальной орбите сумма кинетической и потенциальной энергии равна:
\[E_1 = E_{kin_1} + E_{pot_1} = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_em}{R_1}.\]

После изменения радиуса орбиты в 4 раза (\(R_2 = 4R_1\)) и периода обертания в 8 раз (\(T_2 = 8T_1\)), сумма кинетической и потенциальной энергии на новой орбите равна:
\[E_2 = E_{kin_2} + E_{pot_2} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_em}{R_2}.\]

Согласно закону сохранения механической энергии, эти две суммы должны быть равны:
\[E_1 = E_2.\]

Теперь можем выразить скорости \(v_1\) и \(v_2\) через радиусы и периоды обертания:
\[E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_em}{R_1}.\]
\[E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_em}{R_2}.\]

После подстановки значений \(R_2 = 4R_1\) и \(T_2 = 8T_1\), получим:
\[\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_em}{R_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_em}{4R_1}.\]

Далее остается только решить эту уравнение относительно \(v_2\):
\[v_2^2 = v_1^2 + \frac{2GM_e}{R_1} - \frac{2GM_e}{4R_1}.\]

Сократив и упростив выражение, получим окончательный ответ:
\[v_2^2 = v_1^2 + \frac{6GM_e}{4R_1}.\]

Учитывая, что в данной задаче значение гравитационной постоянной (\(G\)) и масса Земли (\(M_e\)) остаются постоянными, мы можем сделать вывод, что при увеличении радиуса орбиты супутника в 4 раза и периода обертания в 8 раз, скорость его движения по орбите увеличится на величину, определяемую выражением \(\sqrt{\frac{6GM_e}{4R_1}}\).

Надеюсь, что данный ответ ясен и понятен школьнику. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.