Какова область допустимых значений функции f(x) = √(x + 5 + 6)/(x^2

Lazernyy_Robot

25

Для начала посмотрим, какие значения переменной \(x\) можно подставить в функцию. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых функция определена и имеет смысл.

В данной задаче у нас функция с корнем и делением, поэтому нам нужно учесть два момента:
1. Корень. Внутри корня должно находиться выражение, которое неотрицательно. В данном случае у нас \(x + 5 + 6\). Для того, чтобы это выражение было неотрицательным, должно выполняться неравенство \(x + 5 + 6 \geq 0\). Решим его:
\[x + 11 \geq 0\]
\(x \geq -11\) - это условие для корня.

2. Знаменатель. В знаменателе не должно быть нулей. В данной задаче у нас знаменатель - это \(x^2\). Чтобы \(x^2\) не был равен нулю, \(x\) не должен быть равен нулю. То есть, \(x \neq 0\).

Таким образом, ОДЗ для функции \(f(x)\) будет следующим:
\[x \in (-\infty, -11] \cup (-11, 0) \cup (0, +\infty)\]

Теперь, давайте разберемся с самой функцией. У нас имеется корень и деление в выражении, и для того, чтобы упростить его, мы должны провести некоторые действия.

1. Сначала посмотрим на корень. Корень можно упростить, раскрыв его в виде степени соответствующего выражения. У нас внутри корня имеется выражение \(\sqrt{x+11}\).
\[f(x) = \frac{\sqrt{x+11}}{x^2}\]

2. Теперь разберемся с делением. Чтобы разделить два выражения с корнями, мы можем помножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. В нашем случае, сопряженным будет выражение \(x^2\).
\[f(x) = \frac{{\sqrt{x+11}} \cdot {x^2}}{{x^2 \cdot x^2}}\]

3. Продолжим с упрощением. Здесь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:
\[f(x) = \frac{{x^2 \cdot \sqrt{x+11}}}{{x^4}}\]

4. Теперь упростим дробь, разделив каждую степень в числителе на степень в знаменателе:
\[f(x) = x^{-2} \cdot \sqrt{x+11}\]

Таким образом, мы получили упрощенное выражение для функции \(f(x)\):
\[f(x) = x^{-2} \cdot \sqrt{x+11}\]

Помните, что это только упрощенное выражение, и оно имеет смысл только при выполнении ОДЗ, которое мы нашли ранее.