Какова область определения функции u=ln(xyz), и приведите соответствующий чертёж?

Морской_Бриз_9077

5

Функция \(u = \ln(xyz)\) определена только для положительных значений переменных \(x\), \(y\) и \(z\), поскольку натуральный логарифм \(\ln(a)\) определен только для положительных чисел \(a\).

Поэтому область определения функции состоит из всех тех значений \(x\), \(y\) и \(z\), для которых \(x\), \(y\) и \(z\) являются положительными числами. Математически можно записать это следующим образом:

\[
\text{Область определения функции } u = \ln(xyz): x > 0, y > 0, z > 0
\]

Что касается чертежа, то функция \(u = \ln(xyz)\) зависит от трех переменных \(x\), \(y\) и \(z\), и формирует трехмерную поверхность в пространстве. Построить полный чертеж этой функции было бы сложной задачей, однако мы можем нарисовать ее график в двухмерной плоскости, выбрав две переменные и зафиксировав третью.

Для примера, давайте зафиксируем \(z = 1\) и построим график функции \(u = \ln(xy)\) в плоскости переменных \(x\) и \(y\).

\[
\begin{tabular}{ c | c }
\(x\) & \(y\) \\
\hline
0.1 & 10 \\
0.2 & 5 \\
0.5 & 2 \\
1 & 1 \\
2 & 0.5 \\
10 & 0.1 \\
\end{tabular}
\]

Построение графика с помощью этих значений даёт нам гиперболу, исходящую из начала координат и ограниченную в первом квадранте.

\noindent \[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin = -0.5,
xmax = 2.5,
ymin = -0.5,
ymax = 10.5,
]
\addplot [
domain=0.01:2,
samples=100,
color=blue,
]
{x^(-1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Обратите внимание, что построенный график лишь частично представляет функцию \(u = \ln(xyz)\), поскольку только две переменные были фиксированы. Как только мы фиксируем значение третьей переменной, результат будет другим. Однако данный график помогает нам понять некоторые особенности функции и ее зависимости от переменных.