Какова область определения функции y = 3log4(9-x^2) + √(3sinx)?

Радужный_Сумрак

3

Для начала, давайте разберемся с функцией \(y = 3\log_4(9-x^2) + \sqrt{3\sin(x)}\). Чтобы определить область определения данной функции, нам нужно учесть два фактора: область определения логарифма и область определения корня.

1. Область определения логарифма:
Логарифм с основанием \(4\) будет определен только для положительных аргументов. Поэтому выражение \(9 - x^2\) должно быть положительно:
\[9 - x^2 > 0\]

Чтобы это неравенство было истинным, нам нужно найти значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^2 < 9\). Это означает, что \(x\) должно находиться в интервале от \(-3\) до \(3\):
\[-3 < x < 3\]

2. Область определения корня:
Выражение \(\sqrt{3\sin(x)}\) будет определено только для неотрицательных значений \(3\sin(x)\). В данном случае, так как \(\sin(x)\) может принимать значения в интервале от \(-1\) до \(1\), то \(\sqrt{3\sin(x)}\) будет определено, когда \(3\sin(x) \geq 0\).
Учитывая это, область определения функции принимает следующий вид:
\[3\sin(x) \geq 0\]

Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому неравенству, мы должны рассмотреть интервалы, где \(\sin(x)\) положительный (\(\sin(x) > 0\)) или равен нулю (\(\sin(x) = 0\)). Поскольку функция синуса положительна на интервалах \((0, \pi)\) и \((2\pi, 3\pi)\), а равна нулю на интервале \(\pi\), то область определения выражения \(\sqrt{3\sin(x)}\) равна:
\[0 \leq x < \pi \text{ и } 2\pi \leq x < 3\pi\]

Итак, объединяя оба условия для области определения, мы получаем область, когда функция \(y = 3\log_4(9-x^2) + \sqrt{3\sin(x)}\) определена:
\[-3 < x < 3, \text{ и } 0 \leq x < \pi \text{ и } 2\pi \leq x < 3\pi\]