Какова область определения функции y = ^6sqrt(3-x) + sinx/(^4sqrt(5x-1)) - sqrt(5x^2-16x+3), где ^6sqrt является корнем

Чудесный_Мастер

25

Для определения области определения данной функции нужно учесть два фактора: область определения корней и область определения знаменателей.

1. Область определения корней:
Для \(\sqrt[6]{3-x}\) возможны значения под корнем (3-x) только тогда, когда выражение (3-x) неотрицательно, то есть \(3-x \geq 0\), откуда получаем \(x \leq 3\).

Аналогично, для \(\sqrt[4]{5x-1}\) значения под корнем должны быть неотрицательными, то есть \(5x-1 \geq 0\), откуда получаем \(x \geq \frac{1}{5}\).

2. Область определения знаменателей:
Знаменатель sinx не имеет ограничений на x, поскольку sinx определен для всех значений аргумента.

Знаменатель \(\sqrt{5x^2-16x+3}\) представляет собой квадратный корень. Чтобы определить область определения, нужно найти значения под корнем, которые должны быть неотрицательными:
\(5x^2-16x+3 \geq 0\).

Для решения этого квадратного неравенства можно использовать метод интервалов. Сначала находим корни уравнения \(5x^2-16x+3 = 0\):
\[(5x-1)(x-3) = 0\].

Корни уравнения: x = 1/5 и x = 3.
Затем строим таблицу интервалов и проверяем знаки между ними:

\[
\begin{array}{|c|c c c|}
\hline
& (-\infty, \frac{1}{5}) & (\frac{1}{5}, 3) & (3, +\infty) \\
\hline
5x^2-16x+3 & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что уравнение \(5x^2-16x+3 \geq 0\) выполняется только на интервале \((\frac{1}{5}, 3)\).

Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt[6]{3-x} + \frac{\sin{x}}{\sqrt[4]{5x-1}} - \sqrt{5x^2-16x+3}\) состоит из всех значений x, которые удовлетворяют условиям:
\[x \leq 3, x \geq \frac{1}{5}, x \in (\frac{1}{5}, 3).\]

То есть, область определения функции можно записать в виде:
\[x \in (\frac{1}{5}, 3].\]