Какова область значений функции f(x) = √(x+3) + 8/(x^2-36)?

Ивановна

11

Хорошо, рассмотрим задачу шаг за шагом.

Функция \(f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{8}{{x^2-36}}\) имеет два основных ограничения: корень и деление на ноль.

1. Корень: внутри корня должно находиться неотрицательное выражение, чтобы функция была определена. В данном случае \(x+3\) не должно быть отрицательным. Поэтому нам нужно решить неравенство \(x+3 \geq 0\).
- Вычитаем 3 из обеих частей, получаем \(x \geq -3\). Таким образом, область значений для корня равна \([-3, +\infty)\).

2. Деление на ноль: выражение \(x^2-36\) не должно быть равно нулю, чтобы избежать деления на ноль. Решим квадратное уравнение \(x^2-36 = 0\):
- Факторизуем его как разность квадратов: \((x-6)(x+6) = 0\).
- Найденные корни \(x = 6\) и \(x = -6\) представляют точки разрыва функции.

Итак, область значений функции \(f(x)\) состоит из двух частей:
1. Для \(x \geq -3\) (т.е. \([-3, +\infty)\)): функция определена и не имеет разрывов.
2. За исключением точек \(x = 6\) и \(x = -6\), так как они приводят к делению на ноль.

Подводя итог, область значений функции \(f(x)\) равна \((-3, -6) \cup (-6, +\infty)\), где \(\cup\) обозначает объединение интервалов.