Если расстояние от определенной точки на параболе до директрисы составляет 5, то каково расстояние от этой точки

Пушок

23

Для того чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание свойств параболы и ее элементов.

Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы. Фокус и директриса находятся на одной вертикальной прямой, которая называется осью симметрии параболы. Директриса находится на равном расстоянии от фокуса и оси симметрии параболы.

Пусть заданная точка на параболе имеет координаты \((x, y)\). Расстояние от этой точки до директрисы составляет 5. Пусть расстояние от точки до фокуса равно \(d\).

Для параболы с вертикальной осью симметрии уравнение имеет вид \(x^2 = 4py\), где \(p\) - фокусное расстояние, то есть расстояние от фокуса до вершины параболы.

Расстояние от точки до директрисы можно выразить через координаты точки следующим образом: \(\left|\frac{{y - p}}{2p}\right|\), где \(\left|\frac{{y - p}}{2p}\right|\) - модуль выражения \(\frac{{y - p}}{{2p}}\).

Зная, что данное расстояние равно 5, получаем уравнение: \(\left|\frac{{y - p}}{2p}\right| = 5\).

Рассмотрим два случая:

1. Если \(y > p\) (точка находится выше вершины параболы), то уравнение примет вид \(\frac{{y - p}}{{2p}} = 5\).

2. Если \(y < p\) (точка находится ниже вершины параболы), то уравнение примет вид \(\frac{{p - y}}{{2p}} = 5\).

Рассмотрим первый случай подробнее. Уравнение \(\frac{{y - p}}{{2p}} = 5\) мы можем решить относительно переменной \(y\). Переносим 2p на правую сторону уравнения и получаем \(y - p = 10p\). Затем прибавляем p к обеим сторонам уравнения и получаем \(y = 11p\).

Теперь у нас есть выражение для координаты y, а также зная уравнение параболы \(x^2 = 4py\), мы можем выразить переменную x через p и y. Подставляем значение y в уравнение параболы:
\[x^2 = 4p \cdot 11p = 44p^2\]

Необходимо найти расстояние от точки до фокуса. Используем определение параболы - фокусное расстояние равно половине расстояния от фокуса до соответствующего конца параболы. Так как фокусное расстояние равно p, то получаем \(\frac{1}{2}p = \frac{1}{2} \cdot 11p = 5,5p\).

Ответ: Расстояние от данной точки на параболе до фокуса равно \(5,5p\), где \(p\) - фокусное расстояние.