Какова общая масса двойной звезды, учитывая, что ее годичный параллакс составляет 0,05″, большая полуось видимой орбиты

Valeriya

64

Для определения общей массы двойной звезды воспользуемся законом Кеплера и формулой, связывающей массу звезды с ее орбитальным периодом и полуосью орбиты.

Закон Кеплера утверждает, что квадрат периода обращения планеты вокруг звезды пропорционален кубу большой полуоси орбиты. Мы можем его записать следующим образом:

\[ T^2 = \frac{{4\pi^2}}{{G(m_1 + m_2)}}a^3 \]

где:
- \( T \) - период обращения планеты (100 лет в данной задаче);
- \( G \) - гравитационная постоянная (\(6,67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\));
- \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы компонентов двойной звезды, которые мы хотим найти (общая масса звезды);
- \( a \) - большая полуось орбиты (2,0" в данной задаче).

У нас также есть информация о годичном параллаксе звезды, который определяется как угловое отклонение звезды, вызванное ее собственным движением в течение года. Годичный параллакс связан с большой полуосью орбиты следующим образом:

\[ \text{параллакс} = \frac{{1}}{{\text{расстояние}}} \]

\[ \text{расстояние} = \frac{{1}}{{\text{параллакс}}} \]

В данной задаче параллакс равен 0,05", поэтому расстояние равно:

\[ \text{расстояние} = \frac{{1}}{{0,05}} \]

Для нахождения общей массы звезды объединим эти формулы. Однако перед этим необходимо привести все в определенные единицы измерения. Так как масса измеряется в килограммах, расстояние в метрах и период в секундах, приведем большую полуось орбиты к метрам:

\[ a = 2,0 \times 3,086 \times 10^{16} \, \text{м} \]

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения и формулы, можем решить задачу:

1. Переведем большую полуось орбиты в метры:
\[ a = 2,0 \times 3,086 \times 10^{16} \, \text{м} = 6,172 \times 10^{16} \, \text{м} \]

2. Выразим расстояние:
\[ \text{расстояние} = \frac{{1}}{{0,05}} = 20 \, \text{парсек} \approx 2 \times 10^{18} \, \text{м} \]

3. Подставим известные значения в закон Кеплера:
\[ T^2 = \frac{{4\pi^2}}{{G(m_1 + m_2)}}a^3 \]

\[ (100 \, \text{год})^2 = \frac{{4\pi^2}}{{6,67430 \times 10^{-11}}}(m_1 + m_2)(6,172 \times 10^{16})^3 \]

4. Упростим формулу и выразим общую массу звезды:
\[ (100 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60)^2 \times 6,67430 \times 10^{-11} = 4\pi^2(m_1 + m_2)(6,172 \times 10^{16})^3 \]

\[ (3,1536 \times 10^9)^2 \times 6,67430 \times 10^{-11} = 4\pi^2(m_1 + m_2)(2,16855 \times 10^{50}) \]

\[ (9,9466 \times 10^{18})(6,67430 \times 10^{-11}) = 4\pi^2(m_1 + m_2)(2,16855 \times 10^{50}) \]

\[ 6,634 \times 10^8 = \frac{{4\pi^2(m_1 + m_2)(2,16855 \times 10^{50})}}{{9,9466 \times 10^{18}}} \]

5. Решим уравнение для общей массы звезды:
\[ m_1 + m_2 = \frac{{6,634 \times 10^8 \times 9,9466 \times 10^{18}}}{{4\pi^2 \times (2,16855 \times 10^{50})}} \]

\[ m_1 + m_2 \approx 5,994 \times 10^{30} \, \text{кг} \]

Таким образом, общая масса двойной звезды составляет примерно \( 5,994 \times 10^{30} \) килограмм.