Какова первая космическая скорость для спутников в зависимости от их высоты, при которой они вращаются вокруг Земли?

Laki_5128

21

При решении этой задачи мы будем использовать третий закон Кеплера о движении планет, который может быть применен и к движению спутников вокруг Земли. Согласно этому закону, период обращения спутника вокруг Земли зависит от его высоты над поверхностью Земли.

Период обращения спутника (T) можно выразить через его высоту (h) и радиус Земли (Rз) с помощью следующей формулы:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(Rз + h)^3}{G Mз}} \]

где G - гравитационная постоянная (G = 6.67430 × 10⁻¹¹ м³/(кг·с²)), а Мз - масса Земли.

Теперь мы можем решить эту формулу для высоты спутника (h), чтобы найти минимальную высоту, при которой спутник будет вращаться вокруг Земли.

\[ h = (\frac{T^2 G Mз}{4\pi^2})^(1/3) - Rз \]

Таким образом, чтобы найти первую космическую скорость (V) для спутника, вращающегося на данной высоте (h), мы можем использовать формулу для вычисления скорости окружности:

\[ V = \sqrt{\frac{G Mз}{Rз + h}} \]

Теперь, когда у нас есть все формулы, давайте посчитаем первую космическую скорость для спутника на определенной высоте.

Предположим, что высота спутника (h) составляет 300 км.

1. Найдем период обращения спутника (T):

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(Rз + h)^3}{G Mз}} \]

Подставляем значения:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(6400 + 300)^3}{6.67430 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \]

Рассчитываем результат.

2. Рассчитаем первую космическую скорость (V):

\[ V = \sqrt{\frac{G Mз}{Rз + h}} \]

Подставляем значения:

\[ V = \sqrt{\frac{6.67430 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6400 + 300}} \]

Рассчитываем результат.

Таким образом, первая космическая скорость для спутника на высоте 300 км будет равна этому результату.