Какова первая космическая скорость на луне, учитывая, что радиус луны примерно вчетверо меньше, а сила тяжести на луне

Светик

19

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, которую необходимо иметь для преодоления гравитационного притяжения планеты или спутника и попадания на орбиту. Для решения данной задачи нам понадобится использовать закон всемирного тяготения и закон сохранения энергии.

Сначала рассмотрим силу тяжести на Луне. Дано, что сила тяжести на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Обозначим силу тяжести на Земле как \(F_Z\) и на Луне как \(F_L\). Тогда соотношение между ними можно записать как:
\[F_L = \frac{1}{6} F_Z\]

Теперь рассмотрим радиус Луны. Дано, что радиус Луны в 4 раза меньше, чем радиус Земли. Обозначим радиус Земли как \(R_Z\) и радиус Луны как \(R_L\). Тогда соотношение между ними можно записать как:
\[R_L = \frac{1}{4} R_Z\]

Для нахождения первой космической скорости на Луне воспользуемся законом сохранения энергии. Энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии. Потенциальная энергия на Луне будет равна:
\[E_{L_p} = -\frac{G \cdot m \cdot M_L}{R_L}\]
где \(G\) - гравитационная постоянная, \(m\) - масса объекта, \(M_L\) - масса Луны, \(R_L\) - радиус Луны.

Кинетическая энергия на Луне равна:
\[E_{L_k} = \frac{1}{2} m v_L^2\]
где \(v_L\) - скорость на Луне.

Так как общая энергия остается постоянной, можно записать уравнение:
\[E_{L_p} + E_{L_k} = 0\]
\[ -\frac{G \cdot m \cdot M_L}{R_L} + \frac{1}{2} m v_L^2 = 0\]

Теперь подставим значения силы тяжести и радиуса Луны, которые мы получили ранее:
\[ -\frac{G \cdot m \cdot M_L}{\frac{1}{4} R_Z} + \frac{1}{2} m v_L^2 = 0\]

Закон всемирного тяготения позволяет нам выразить массу Луны через силу тяжести на Луне:
\[M_L = \frac{F_L \cdot R_L^2}{G}\]
\[M_L = \frac{\frac{1}{6} F_Z \cdot \frac{1}{16} R_Z^2}{G}\]

Подставим это выражение для массы Луны в уравнение для энергии:
\[ -\frac{G \cdot m \cdot \left(\frac{1}{6} F_Z \cdot \frac{1}{16} R_Z^2\right)}{\frac{1}{4} R_Z} + \frac{1}{2} m v_L^2 = 0\]

Simplify the equation:

\[ -\frac{6 \cdot 16 \cdot G \cdot m \cdot F_Z \cdot R_Z^2}{6 \cdot R_Z} + \frac{1}{2} m v_L^2 = 0\]

Упрощаем уравнение и сокращаем константы:

\[ -\frac{16 \cdot G \cdot m \cdot F_Z \cdot R_Z}{R_Z} + \frac{1}{2} m v_L^2 = 0\]
\[ -16 \cdot G \cdot F_Z + \frac{1}{2} v_L^2 = 0\]

Теперь найдем выражение для силы тяжести на Земле:
\[F_Z = \frac{G \cdot M_Z \cdot m}{R_Z^2}\]
где \(M_Z\) - масса Земли, \(R_Z\) - радиус Земли.

Подставим это выражение для силы тяжести на Земле в уравнение:
\[ -16 \cdot G \cdot \frac{G \cdot M_Z \cdot m}{R_Z^2} + \frac{1}{2} v_L^2 = 0\]

Теперь мы можем выразить скорость на Луне \(v_L\):
\[\frac{1}{2} v_L^2 = 16 \cdot G \cdot \frac{G \cdot M_Z \cdot m}{R_Z^2}\]
\[v_L^2 = 32 \cdot G^2 \cdot \frac{G \cdot M_Z \cdot m}{R_Z^2}\]
\[v_L = \sqrt{32} \cdot \sqrt{G^3} \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M_Z \cdot m}{R_Z^2}}\]

Finally, we substitute the values for \(G\), \(M_Z\), \(m\), and \(R_Z\) to calculate the first cosmic velocity on the Moon.