Какова ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ спутника Луны, если известно, что отношение радиусов Земли и Луны составляет Rз/Rл

Вода

21

Для решения данной задачи нам нужно определить, какая должна быть первая космическая скорость спутника Луны.

Первая космическая скорость спутника необходима для того, чтобы спутник мог преодолеть гравитационное воздействие Земли и уйти на орбиту вокруг Луны.

Для начала, нам понадобится информация о периоде обращения Луны вокруг Земли. Это значение составляет около 27 суток, что равняется 27 × 24 × 60 × 60 секундам.

Зная период обращения Луны, мы можем определить его радиус. Для этого воспользуемся формулой для периода обращения небесного тела:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M}}\]

где T - период обращения, r - радиус орбиты, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли.

Нам известно отношение радиусов Земли и Луны: Rз/Rл = 3.7. Пусть радиус Луны будет rл, а радиус Земли - rз. Тогда мы можем записать:

\[\frac{2\pi\sqrt{rл^3 / (GMл)}}{2\pi\sqrt{rз^3 / (GMз)}} = \frac{Tл}{Tз}\]

Мы также знаем отношение масс Земли и Луны: Mз/Mл = 81. Подставляя эти выражения в формулу и учитывая, что Tл = 27 × 24 × 60 × 60 секунд, получаем:

\[\frac{\sqrt{rл^3 / Mл}}{\sqrt{rз^3 / Mз}} = \frac{Tл}{Tз}\]

Теперь мы можем записать выражение для первой космической скорости спутника Луны. Эта скорость можем быть определена следующим образом:

\[v1 = \sqrt{\frac{GMл}{rл}}\]

Теперь, имея все необходимые значения и выражения, мы можем решить задачу.

Подставляя выражение для первой космической скорости Земли v1 = 8 км/c, мы можем записать:

\[\sqrt{\frac{GMз}{rз}} = 8\]

Таким образом, мы можем найти выражение для первой космической скорости спутника Луны:

\[v1л = \sqrt{\frac{GMл \cdot rл}{GMз \cdot rз}} \cdot v1\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[v1л = \sqrt{\frac{81 \cdot rл}{rз}} \cdot 8\]

Теперь, чтобы определить значения радиусов rл и rз, мы можем воспользоваться отношением их радиусов Rз/Rл = 3.7:

\[\frac{rз}{rл} = 3.7\]

Это означает, что

\[rз = 3.7 \cdot rл\]

Теперь мы можем записать окончательное выражение для первой космической скорости спутника Луны:

\[v1л = \sqrt{\frac{81 \cdot rл}{3.7 \cdot rл}} \cdot 8\]

После сокращения радиусов rл получаем:

\[v1л = \sqrt{\frac{81}{3.7}} \cdot 8\]

Вычисляя это выражение, получаем значение первой космической скорости спутника Луны.