Какова площадь боковой и полной поверхности призмы с основанием в форме правильного n-угольника со стороной a и ребром

Светлый_Мир

55

Давайте решим поставленную задачу о вычислении площади боковой и полной поверхности призмы с основанием в форме правильного n-угольника.

Площадь боковой поверхности призмы находится путем умножения периметра основания на высоту призмы. В нашем случае высота призмы равна h. Периметр основания можно найти, зная количество сторон многоугольника (n) и длину стороны (a). Так как наши многоугольники являются правильными, все стороны равны между собой.

Таким образом, формула для вычисления площади боковой поверхности призмы будет следующей:

\[S_{бок} = P_{осн} \times h\]

где
\(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности призмы,
\(P_{осн}\) - периметр основания призмы,
\(h\) - высота призмы.

Теперь рассмотрим случаи, данные в задаче:

а) n=3, a=5, h=10:
Мы имеем треугольник в основании с длиной стороны a=5 и высотой призмы h=10. Для треугольника периметр можно найти, умножив длину одной стороны на количество сторон. В этом случае периметр равен \(P_{осн} = 3 \times a = 3 \times 5 = 15\). Подставляя значения в формулу площади боковой поверхности, получаем:

\[S_{бок} = 15 \times 10 = 150\]

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 150.

б) n=4, a=10, h=30:
Здесь основание призмы имеет форму квадрата со стороной a=10, a высота призмы равна h=30. Периметр квадрата составляет \(P_{осн} = 4 \times a = 4 \times 10 = 40\). Подставляем значения в формулу:

\[S_{бок} = 40 \times 30 = 1200\]

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 1200.

в) n=6, a=18, h=32:
У нас есть призма с шестиугольным основанием, где длина стороны a=18 и высота призмы h=32. Периметр шестиугольника составляет \(P_{осн} = 6 \times a = 6 \times 18 = 108\). Подставляем значения в формулу:

\[S_{бок} = 108 \times 32 = 3456\]

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 3456.

г) n=5, s=16, h=25:
Здесь у нас нет явно указанных значений длины стороны a. Вместо этого дана площадь основания s=16. Однако мы можем найти длину стороны a, зная формулу для площади правильного пятиугольника: \(S_{осн} = \frac{5 \times a \times h}{2}\). Подставляя известные значения, получаем:

\(16 = \frac{5 \times a \times 25}{2}\)

Упрощая выражение, получаем \(a = \frac{32}{5}\).

Теперь можем вычислить периметр основания \(P_{осн} = 5 \times a = 5 \times \frac{32}{5} = 32\).

Подставляем значения в формулу:

\[S_{бок} = 32 \times 25 = 800\]

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 800.

Теперь рассмотрим вычисление полной поверхности призмы. Полная поверхность призмы состоит из суммы боковой поверхности и двух оснований.

Формула для вычисления полной поверхности призмы будет следующей:

\[S_{полн} = 2 \times S_{бок} + S_{осн}\]

где
\(S_{полн}\) - полная поверхность призмы,
\(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности призмы,
\(S_{осн}\) - площадь одного основания призмы.

Считая площадь основания призмы одного многоугольника, мы можем использовать следующую формулу для нахождения этой площади:

\[S_{осн} = \frac{n \times a \times s}{2}\]

где
\(n\) - количество сторон основания,
\(a\) - длина стороны основания,
\(s\) - длина основания.

Теперь вычислим полные поверхности призмы для каждого случая:

а) n=3, a=5, h=10:
Мы уже вычислили \(S_{бок} = 150\) для этого случая. Так как треугольник в основании является равносторонним (\(a=5\)), площадь одного основания будет \(S_{осн} = \frac{3 \times 5 \times 5}{2} = 37.5\). Подставляем значения в формулу:

\[S_{полн} = 2 \times 150 + 37.5 = 337.5\]

Ответ: полная поверхность призмы равна 337.5.

б) n=4, a=10, h=30:
Мы уже вычислили \(S_{бок} = 1200\) для этого случая. Так как у нас квадратное основание (\(a=10\)), площадь одного основания будет \(S_{осн} = a \times a = 10 \times 10 = 100\). Подставляем значения в формулу:

\[S_{полн} = 2 \times 1200 + 100 = 2500\]

Ответ: полная поверхность призмы равна 2500.

в) n=6, a=18, h=32:
Мы уже вычислили \(S_{бок} = 3456\) для этого случая. Площадь шестиугольника можно найти с помощью формулы для правильного многоугольника: \(S_{осн} = \frac{6 \times a \times s}{2} = \frac{6 \times 18 \times 18}{2} = 972\). Подставляем значения в формулу:

\[S_{полн} = 2 \times 3456 + 972 = 7872\]

Ответ: полная поверхность призмы равна 7872.

г) n=5, s=16, h=25:
Мы уже вычислили \(S_{бок} = 800\) для этого случая. Площадь каждого основания можно вычислить, зная длину стороны \(a = \frac{32}{5}\) и длину основания \(s = 16\): \(S_{осн} = \frac{5 \times \frac{32}{5} \times 16}{2} = 256\). Подставляем значения в формулу:

\[S_{полн} = 2 \times 800 + 256 = 1856\]

Ответ: полная поверхность призмы равна 1856.

Мы решили поставленную задачу о вычислении площади боковой и полной поверхности призмы с основанием в форме правильного n-угольника. Ответы для каждого случая:

а) Площадь боковой поверхности: 150; Полная поверхность: 337.5.
б) Площадь боковой поверхности: 1200; Полная поверхность: 2500.
в) Площадь боковой поверхности: 3456; Полная поверхность: 7872.
г) Площадь боковой поверхности: 800; Полная поверхность: 1856.

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать подобные задачи! Если вам нужно будет помощь с другими школьными заданиями, не стесняйтесь обратиться ко мне.