Какова площадь боковой поверхности цилиндра, параллельного оси, при условии, что диагональ сечения равна 6 см, угол

Skvoz_Ogon_I_Vodu

7

Решение:

Для начала давайте нарисуем цилиндр, чтобы лучше понять условие задачи.
\[figure\]
Здесь видно, что у нас есть цилиндр, параллельный оси, и основание цилиндра имеет форму круга. Мы знаем, что диагональ сечения равна 6 см и угол между диагональю и плоскостью нижнего основания составляет 60 градусов. Кроме того, сечение отсекает дугу в 90 градусов на основании.

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нам нужно найти высоту боковой поверхности и длину дуги, которую сечение отсекает на боковой поверхности.

Для начала найдем высоту боковой поверхности. Мы знаем, что диагональ сечения равна 6 см, поэтому давайте воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти радиус цилиндра. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) верно следующее уравнение: \(a^2 + b^2 = c^2\).

В нашем случае, мы имеем прямоугольный треугольник, где один катет равен радиусу цилиндра, а гипотенуза равна диагонали сечения. Поэтому, пусть \(r\) будет радиусом цилиндра, и мы можем записать уравнение следующим образом:
\[r^2 + h^2 = 6^2\]
\[r^2 + h^2 = 36\]

Теперь, чтобы найти длину дуги на боковой поверхности, давайте рассмотрим окружность, которую сечение отсекает на основании цилиндра. Мы знаем, что сечение отсекает дугу в 90 градусов на основании, а длина окружности равна \(2\pi r\) (где \(r\) - радиус цилиндра).

Мы говорим о дуге, которая отсекается 90 градусами, а значит, что она составляет четверть окружности. Поэтому длина дуги равна \(2\pi r / 4 = \pi r / 2\).

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины дуги на высоту боковой поверхности. Это можно записать следующим образом:
\[S = \dfrac{\pi r}{2} \cdot h\]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[r^2 + h^2 = 36\]
\[S = \dfrac{\pi r}{2} \cdot h\]

Мы не можем найти \(r\) и \(h\) напрямую, поэтому давайте подставим \(h\) из первого уравнения во второе уравнение. Получим:
\[S = \dfrac{\pi r}{2} \cdot \sqrt{36-r^2}\]

Другой подход к решению этой задачи (вариант 2):
Используя геометрические свойства, можно установить, что боковая поверхность цилиндра состоит из прямоугольника высотой \(h\) и шириной \(L\), где \(L\) - длина дуги окружности радиусом \(r\) (сечение отсекает дугу в 90 градусов на основании цилиндра).

Высота \(h\) является катетом прямоугольного треугольника, а длина \(L\) является гипотенузой. Зная, что угол между диагональю сечения и плоскостью нижнего основания составляет 60 градусов, мы можем применить тригонометрическое соотношение для этого треугольника:
\[\cos(60°) = \dfrac{h}{L}\]
\[\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{L}\]
\[L = 2h\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, мы можем использовать формулу \(S = L \cdot h\) и подставить \(L\) вместо \(2h\):
\[S = 2h \cdot h\]
\[S = 2h^2\]

Теперь, чтобы найти \(h\), мы можем воспользоваться уравнением \(r^2 + h^2 = 36\) и решить его относительно \(h\):
\[h^2 = 36 - r^2\]
\[h = \sqrt{36 - r^2}\]

Теперь мы можем подставить это значение \(h\) в уравнение для площади боковой поверхности:
\[S = 2(\sqrt{36 - r^2})^2\]
\[S = 2(36 - r^2)\]
\[S = 72 - 2r^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(72 - 2r^2\).

Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти площадь боковой поверхности цилиндра. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.