Выберите все верные утверждения. 1) Если диагональ, проходящая через центр выпуклого четырёхугольника, делит его

  • 17
Выберите все верные утверждения.
1) Если диагональ, проходящая через центр выпуклого четырёхугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
2) Если вершины выпуклого четырёхугольника равноудалены от точки пересечения его диагоналей, то углы этого четырёхугольника равны между собой.
3) Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то её боковые стороны равны друг другу.
4) Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника попарно равны, то и его противоположные углы попарно равны.
Nikolaevna_4038
48
Давайте посмотрим на каждое утверждение по отдельности и проверим, являются ли они верными.

1) Если диагональ, проходящая через центр выпуклого четырёхугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Для начала, давайте представим себе выпуклый четырёхугольник с диагональю, которая проходит через его центр и делит его на два равных прямоугольных треугольника. Посмотрите на следующую картинку, где диагональ обозначена линией AC, а M - центр четырёхугольника:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
A & & B \\
& M & \\
C & & D \\
\end{{array}}
\]

Теперь мы знаем, что треугольники AMC и CMD являются прямоугольными и равными. Если мы хотим показать, что данный четырёхугольник является параллелограммом, нам нужно доказать, что его противоположные стороны параллельны.

Пусть AC и BD - диагонали четырёхугольника, а N - точка их пересечения. Мы знаем, что углы AMC и CMD прямые углы, поэтому эти углы равны между собой.

Опустим перпендикуляр из точки N на сторону AD, и пусть это перпендикуляр пересекает эту сторону в точке P. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника AMP и CDP, и мы хотим показать, что их стороны параллельны.

Из равенства треугольников AMC и CMD, мы можем утверждать, что стороны AM и MC равны сторонам CM и MD. Из равенства треугольников AMP и CDP, мы можем утверждать, что сторона AM равна стороне CD.

Таким образом, у нас получается, что сторона MC равна стороне CM (по равенству AMC и CMD), и сторона АМ равна стороне CD (по равенству AMP и CDP).

Из этого можно заключить, что сторона АС параллельна стороне BD. Это означает, что четырёхугольник является параллелограммом. Таким образом, первое утверждение верно.

2) Если вершины выпуклого четырёхугольника равноудалены от точки пересечения его диагоналей, то углы этого четырёхугольника равны между собой.

Чтобы проверить это утверждение, представьте себе четырёхугольник ABCD с вершинами A, B, C и D, а также точкой пересечения диагоналей M. Пусть AM = BM = CM = DM.

Мы хотим показать, что углы ABC и CDA равны между собой.

Опять же пусть N - точка пересечения диагоналей и проведём перпендикуляр из N на сторону AD. Пусть этот перпендикуляр пересекает AD в точке P.

Здесь нас интересуют два треугольника APN и CPN. Мы уже знаем, что AN = BN = CN = DN.

Поскольку AM = BM = CM = DM, то AM = CM и BM = DM.

Теперь сравним треугольники AMN и CMN.

У нас есть:

AM = CM (из условия),

AN = CN (из условия),

MN - общая сторона.

Это означает, что AMN и CMN являются равнобедренными треугольниками.

Таким образом, углы в этих треугольниках, то есть углы MAN и MCN, равны между собой.

Так как углы BAM и MCD прямые, следует, что углы ABC и CDA равны между собой.

Таким образом, второе утверждение также верное.

3) Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то её боковые стороны равны друг другу.

Чтобы понять это утверждение, представьте себе трапецию ABCD с диагоналями AC и BD, рассмотрим точку пересечения диагоналей M.

Мы хотим показать, что боковые стороны AB и CD равны между собой.

Пусть N - середина боковой стороны ABCD, т.е. N будет серединой стороны AB, а также стороны CD.

Если диагонали AC и BD перпендикулярны, то углы AсMD и AMB также перпендикулярны, так как они смежные.

Мы также знаем, что сторона AN равна стороне DN, поскольку N - середина стороны AD.

Поскольку AM = AM (общая сторона) и углы AсMD и AMB прямые, следует, что треугольники AMN и DNM равны.

Это означает, что сторона MN равна MN (по равенству сторон AM и DM) и AN = DN (по серединной точке).

Следовательно, AB = CD, что и требовалось доказать.

Таким образом, третье утверждение также верно.

4) Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника попарно равны, то и его противоположные углы попарно равны.

Чтобы проверить это утверждение, представьте себе четырёхугольник ABCD с противоположными сторонами AB и CD, а также BC и AD, которые равны друг другу.

Мы хотим показать, что противоположные углы ABC и CDA, а также углы BCD и DAB, равны между собой.

Если противоположные стороны AB и CD равны, значит, у нас есть AB = CD и AD = BC.

Проведём диагональ AC и точку пересечения диагоналей M.

Опять же, мы можем использовать равенство треугольников, чтобы показать равенство углов.

Треугольники AMC и CMD равны по сторонам AM = CM, DM = MC и AC = CD.

Из равенства AMC и CMD следует, что углы AMC и CMD равны между собой.

То же самое можно сказать и про треугольники AMB и DMC, так как стороны AB = CD, AD = BC и углы BAM и CDM равны.

Из этого вытекает, что углы ABC и CDA, а также углы BCD и DAB равны между собой.

Таким образом, четвёртое утверждение также верно.

В результате обсуждения каждого утверждения можем сделать вывод, что все четыре утверждения верны.

Если у вас возникли ещё вопросы по данной теме или нужно сделать дополнительные объяснения, пожалуйста, дайте мне знать.