Какова площадь боковой поверхности и полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если диагональ его основания

Zvonkiy_Nindzya

55

Для начала, давайте разберёмся, что такое боковая поверхность и полная поверхность прямоугольного параллелепипеда.

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда - это сумма площадей всех его боковых граней. В нашем случае, параллелепипед имеет шесть прямоугольных граней, поэтому его боковая поверхность будет состоять из четырёх прямоугольников. Задача состоит в том, чтобы найти площадь этих прямоугольников.

Что же касается полной поверхности параллелепипеда, то она включает в себя не только боковые грани, но и два основания параллелепипеда. Полная поверхность может быть найдена путём сложения площади боковой поверхности и удвоенной площади одного из оснований.

Теперь обратимся к условию задачи. В нём сказано, что диагональ основания параллелепипеда составляет 3 см и образует угол 45º с одной из сторон. Это даёт нам некоторую информацию о форме основания, так как можно предположить, что оно является квадратом. Давайте определим длину стороны основания.

Пусть сторона основания параллелепипеда равна \(a\) см. Так как диагональ основания составляет 3 см, то по теореме Пифагора мы можем записать следующее уравнение:

\[a^2 + a^2 = 3^2\]

Упростив это уравнение, получим:

\[2a^2 = 9\]

Решим это уравнение:

\[a^2 = \frac{9}{2}\]

\[a = \sqrt{\frac{9}{2}}\]

Так как сторона основания равна \(a\), то площадь одной из сторон основания будет:

\[S_{сторона} = a^2\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности. У нас есть четыре прямоугольника, каждый из которых имеет длину равную стороне основания, а ширину равную высоте параллелепипеда.

Пусть высота параллелепипеда равна \(h\) см. Тогда площадь одного из прямоугольников будет:

\[S_{прямоугольник} = a \cdot h\]

Из условия задачи известно, что угол между стороной основания и плоскостью, проведённой через эту сторону и противоположную ей сторону верхнего основания, равен 45º. Мы можем использовать этот угол для выражения высоты параллелепипеда через длину стороны основания.

Так как сторона основания параллелепипеда является диагональю квадрата, то по теореме Пифагора мы можем записать следующее уравнение:

\[a^2 + a^2 = h^2\]

Упростив это уравнение, получим:

\[2a^2 = h^2\]

\[h^2 = 2a^2\]

\[h = \sqrt{2a^2}\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, зная что \(S_{прямоугольник} = a \cdot h\).

Чтобы найти полную поверхность параллелепипеда, нужно сложить площадь боковой поверхности и удвоенную площадь одного из оснований. То есть:

\[S_{полная} = S_{боковая} + 2 \cdot S_{основание}\]

Теперь, обобщая все полученные результаты, вы можете решить эту задачу, подставив соответствующие значения и проведя вычисления.