Какова площадь боковой поверхности параллелепипеда, у которого стороны основания равны 2√2 и 4, один из углов основания

Pugayuschiy_Pirat_9832

46

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, сначала нам необходимо найти длины ребер, образующих эту поверхность. Затем мы умножим длины ребер и получим искомую площадь.

Первым шагом, у нас есть информация о сторонах основания параллелепипеда. Одна из сторон равна \(2\sqrt{2}\), а другая равна \(4\).

На основе этой информации, мы можем найти длину ребра параллелепипеда, используя теорему Пифагора. Известно, что диагональ прямоугольного треугольника (в нашем случае большая диагональ параллелепипеда) можно найти как гипотенузу этого треугольника, а стороны основания - как его катеты. Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[\text{большая диагональ} = \sqrt{\text{длина ребра}^2 + \text{длина ребра}^2}\]

В нашем случае, диагональ равна неизвестному значению. Поскольку один из углов основания равен 45 градусам, то треугольник, образованный одной из сторон основания и диагональю, является прямоугольным треугольником. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[\text{большая диагональ} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4^2}\]

Выполняя вычисления:

\[\text{большая диагональ} = \sqrt{8 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\]

Теперь у нас есть значение большой диагонали, которое равно \(2\sqrt{6}\). Мы можем продолжить, чтобы найти длину ребра параллелепипеда.

Далее, мы можем снова использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника, чтобы найти длину ребра параллелепипеда. Для того чтобы это сделать, мы можем использовать тот факт, что соотношение между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Мы знаем, что для нашего прямоугольного треугольника:

\[\text{сторона основания} = \text{длина ребра}\]
\[\text{большая диагональ} = \text{длина ребра} \cdot \sqrt{2}\]

Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\(\text{длина ребра} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}\)

Чтобы найти \(\text{длину ребра}\), мы делим обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\):

\(\text{длина ребра} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}\)

Теперь у нас есть значение длины ребра параллелепипеда, которое равно \(2\sqrt{3}\).

Наконец, мы можем найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, умножив длину ребра на периметр основания. В нашем случае, периметр основания равен \(2(2\sqrt{2} + 4)\).

Поэтому, площадь боковой поверхности равна:

\(\text{площадь боковой поверхности} = \text{длина ребра} \cdot \text{периметр основания}\)
\(\text{площадь боковой поверхности} = 2\sqrt{3} \cdot 2(2\sqrt{2} + 4)\)

Выполняя вычисления, получаем:

\(\text{площадь боковой поверхности} = 2\sqrt{3} \cdot 2(2\sqrt{2} + 4) = 4\sqrt{3}(2\sqrt{2} + 4)\)

Упрощаем выражение:

\(\text{площадь боковой поверхности} = 8\sqrt{6} + 16\sqrt{3}\)

Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна \(8\sqrt{6} + 16\sqrt{3}\).