Какова площадь боковой поверхности пирамиды DABC, основанной на прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной
Какова площадь боковой поверхности пирамиды DABC, основанной на прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 13 см, и катетом АС, равным 12 см, а также ребром DА, перпендикулярным плоскости основания и равным 9 см?
Mila 7
Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу для вычисления площади боковой поверхности пирамиды. Формула для этого выглядит следующим образом:\[ S_{\text{бок}} = P \cdot h \]
где \( S_{\text{бок}} \) - площадь боковой поверхности, \( P \) - периметр основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды от основания до вершины.
Для начала, найдем периметр основания пирамиды. Основание пирамиды DABC является прямоугольным треугольником ABC. Поскольку нам даны значения сторон треугольника, мы можем найти его периметр используя следующую формулу:
\[ P = AB + AC + BC \]
Для нашей ситуации, гипотенуза AB треугольника равна 13 см, а катет AC равен 12 см. С помощью теоремы Пифагора мы можем найти значение второго катета BC:
\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} \]
Давайте вычислим значение периметра P:
\[ P = AB + AC + BC = 13 + 12 + \sqrt{13^2 - 12^2} \]
Теперь, для вычисления площади боковой поверхности, нам необходимо найти высоту пирамиды от основания до вершины. Заметим, что ребро DA является высотой пирамиды.
Итак, площадь боковой поверхности пирамиды DABC равна \( S_{\text{бок}} = P \cdot h \), где \( P \) - периметр основания пирамиды (который мы вычислили), а \( h \) - высота пирамиды (равная ребру DA).
Давайте вычислим площадь боковой поверхности, итак:
\[ S_{\text{бок}} = P \cdot h \]
\[ S_{\text{бок}} = (13 + 12 + \sqrt{13^2 - 12^2}) \cdot DA \]
Now, to calculate the value of DA, we will use Pythagorean theorem again. Since DA is perpendicular to the base ABC, it forms a right triangle with side lengths DA, AC, and DC.
\[ DA^2 = AC^2 + DC^2 \]
We know that AC = 12 cm and DC is the height of the right triangle ABC, which can be calculated using Pythagorean theorem.
\[ DC = \sqrt{AB^2 - AC^2} \]
Plugging in the values, we get:
\[ DC = \sqrt{13^2 - 12^2} \]
Now, let"s calculate DA:
\[ DA^2 = AC^2 + DC^2 = 12^2 + (\sqrt{13^2 - 12^2})^2 \]
\[ DA^2 = 144 + (169 - 144) = 169 \]
\[ DA = \sqrt{169} = 13 \]
Now we have all the values to calculate the lateral surface area:
\[ S_{\text{бок}} = (13 + 12 + \sqrt{13^2 - 12^2}) \cdot 13 \]
Let"s simplify the expression:
\[ S_{\text{бок}} = (25 + \sqrt{169}) \cdot 13 = (25 + 13) \cdot 13 = 38 \cdot 13 = 494 \, \text{см}^2 \]
Итак, площадь боковой поверхности пирамиды DABC равна 494 квадратных сантиметра.