Яке додатнє число має найбільшу різницю між його потроєним квадратом і кубом?

Babochka

14

Для решения этой задачи нам необходимо найти число, у которого максимальная разница между его потроенным квадратом и кубом.

Пусть это число будет \(x\). Тогда его потроенный квадрат можно записать как \(3x^2\), а его куб - как \(x^3\).

Теперь нам нужно найти разницу между этими двумя значениями: \(3x^2 - x^3\).

Чтобы найти максимальную разницу, мы можем проанализировать график этой функции. Если мы построим график \(3x^2\) и график \(x^3\) на одной координатной плоскости, то точкой пересечения этих двух функций будет место, где \(3x^2 - x^3\) будет иметь максимальное значение.

Однако, чтобы найти эту точку, нам понадобится математический инструмент, который называется дифференцированием. Используя дифференцирование, мы можем найти значения производной функции \(3x^2 - x^3\) и приравнять их к нулю для определения точек экстремума функции.

Дифференцируем \(3x^2 - x^3\) по отдельности и получим:

\[\frac{d(3x^2)}{dx} = 6x \quad \text{и} \quad \frac{d(x^3)}{dx} = 3x^2\]

Теперь мы должны решить уравнение \(6x - 3x^2 = 0\), чтобы найти значения \(x\), соответствующие точкам экстремума функции. Решением этого уравнения будут \(x = 0\) и \(x = 2\).

После этого нам нужно проверить значения разницы \(3x^2 - x^3\) при \(x = 0\) и \(x = 2\), чтобы определить, какое из них дает максимальное значение.

Подставим \(x = 0\) в \(3x^2 - x^3\):

\[3(0)^2 - (0)^3 = 0\]

Теперь подставим \(x = 2\):

\[3(2)^2 - (2)^3 = 12 - 8 = 4\]

Таким образом, получается, что при \(x = 2\) \(3x^2 - x^3\) имеет максимальное значение, равное \(4\).

Ответ: Число 2 имеет наибольшую разницу между его потроенным квадратом и кубом, которая равна 4.