Какое расстояние необходимо найти между прямыми CC1 и В1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1, где длина ребра равна

Якорь

53

Для начала, давайте разберемся в обозначениях.

У нас есть куб ABCDA1B1C1D1, где длина ребра равна \(a\).

Прямые CC1 и В1D1 пересекаются в точке M.

Чтобы найти расстояние между прямыми CC1 и В1D1, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве.

Эта формула гласит:

\[d = \frac{{| (\vec{r_1} - \vec{r_2}) \cdot \vec{n} |}}{{|\vec{n}|}} \]

Где:
- \(d\) - расстояние между прямыми
- \(\vec{r_1}\) и \(\vec{r_2}\) - радиус-векторы, определяющие прямые
- \(\vec{n}\) - нормальный вектор, перпендикулярный обеим прямым

Давайте найдем нормальный вектор.

Нормальный вектор обеих прямых будет сонаправлен с вектором, образованным концами этих прямых. Так как в нашем случае прямые CC1 и В1D1 параллельны плоскости ABCD, то нормальный вектор будет перпендикулярен этой плоскости.

Вектор, определяющий прямую CC1, можно найти, вычитая координаты точек C1 и C:

\(\vec{r_{CC1}} = \vec{C1} - \vec{C}\)

Таким же образом, вектор, определяющий прямую В1D1, будет:

\(\vec{r_{В1D1}} = \vec{D1} - \vec{B1}\)

Теперь, чтобы найти нормальный вектор, мы можем воспользоваться векторным произведением этих двух векторов:

\(\vec{n} = \vec{r_{CC1}} \times \vec{r_{В1D1}}\)

С нормальным вектором найденным, мы можем продолжить и найти расстояние между прямыми.

Теперь, заметим, что расстояние между прямыми также будет равно расстоянию от точки M (точка пересечения прямых CC1 и В1D1) до плоскости ABCD.

Для нахождения этого расстояния, мы можем воспользоваться формулой:

\[d = \frac{{| (\vec{r_{M}} - \vec{r_{A}}) \cdot \vec{n} |}}{{|\vec{n}|}} \]

Где:
- \(d\) - расстояние между прямыми
- \(\vec{r_{M}}\) - радиус-вектор точки M
- \(\vec{r_{A}}\) - радиус-вектор точки A

Осталось только найти радиус-вектор точки M, чтобы наши вычисления были завершены.

Так как точка M лежит на обеих прямых CC1 и В1D1, мы можем записать радиус-вектор точки M как сумму этих двух радиус-векторов:

\(\vec{r_{M}} = \vec{C} + t_{CC1} \cdot \vec{r_{CC1}} = \vec{B1} + t_{В1D1} \cdot \vec{r_{В1D1}}\)

Где:
- \(t_{CC1}\) и \(t_{В1D1}\) - параметры, определяющие положение точки M на прямых CC1 и В1D1 соответственно

Теперь мы можем подставить все значения в формулы для расстояния между прямыми и вычислить ответ.

Итак, чтобы найти расстояние между прямыми CC1 и В1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1, длина ребра которого равна \(a\), нам нужно:
1. Найти радиус-векторы \(\vec{r_{CC1}}\) и \(\vec{r_{В1D1}}\) для определения прямых CC1 и В1D1.
2. Найти нормальный вектор \(\vec{n}\), используя векторное произведение \(\vec{r_{CC1}} \times \vec{r_{В1D1}}\).
3. Найти радиус-вектор точки M, используя уравнение прямых CC1 и В1D1 (\(\vec{r_{M}} = \vec{C} + t_{CC1} \cdot \vec{r_{CC1}} = \vec{B1} + t_{В1D1} \cdot \vec{r_{В1D1}}\)).
4. Найти расстояние между прямыми, используя формулу \(d = \frac{{| (\vec{r_{M}} - \vec{r_{A}}) \cdot \vec{n} |}}{{|\vec{n}|}}\).

Удачи в вычислениях и найдите значение расстояния между прямыми CC1 и В1D1!