Какова площадь боковой поверхности правильной пирамиды с основанием в форме треугольника, где каждая сторона равна

Филипп

38

Для решения данной задачи, нам понадобится знать длину стороны треугольника, образующего основание пирамиды. Давайте обозначим эту длину как \(a\).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно вычислить, зная периметр основания пирамиды и апофему (расстояние от центра основания до вершины пирамиды). Найдем периметр треугольника.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Поскольку каждая сторона треугольника имеет одинаковую длину, периметр треугольника будет равен \(3a\) (так как у нас треугольник с равными сторонами).

Для подсчета апофемы нам понадобится высота основания пирамиды. Обозначим высоту как \(h\).

Высоту правильной пирамиды можно найти с использованием теоремы Пифагора. Поскольку пирамида имеет правильное основание, высота будет являться биссектрисой основания (разделителем угла основания пирамиды).

Таким образом, мы можем найти высоту пирамиды, используя следующую формулу:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\]

Теперь, когда у нас есть периметр базы пирамиды (\(3a\)) и ее высота (\(h\)), мы можем найти апофему (\(l\)) с использованием теоремы Пифагора:

\[l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Теперь, когда у нас есть периметр базы пирамиды (\(3a\)) и апофема (\(l\)), мы можем найти площадь боковой поверхности (\(S\)) с использованием следующей формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot l\]

В итоге, площадь боковой поверхности пирамиды с основанием в форме треугольника, где каждая сторона равна \(a\), равна \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2\).