Какова площадь боковой поверхности прямой призмы, имеющей основание в форме ромба с острым углом 60° и высотой

Kristina

59

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нам нужно разделить ее на две части: боковую поверхность ромба и боковую поверхность цилиндра.

1. Начнем с боковой поверхности ромба. Для этого нам нужно найти длину одной из его сторон. Так как у ромба есть острый угол 60°, то у этого ромба все углы одинаковые и его основание делится на два равнобедренных треугольника. У равнобедренного треугольника две стороны равны между собой, а третья сторона - основание - это сторона нашего ромба.

Таким образом, нам нужно найти длину одной из его равных сторон. Обозначим ее как "a". Чтобы найти "a", нам нужно использовать свойство равнобедренных треугольников, которое гласит, что угол между боковыми сторонами равен половине угла основания. В нашем случае, угол между боковыми сторонами равен 60°, поэтому угол основания равен 2 * 60° = 120°.

Теперь мы знаем, что в равнобедренном треугольнике у нас есть две равные стороны и угол между ними равен 120°. Мы можем использовать косинус данного угла, чтобы найти длину стороны "a". Формула для этого выглядит так: a = (c * cos(120°)) / 2, где "c" - это сторона основания ромба.

Теперь нам нужно найти длину стороны основания "c". Мы знаем, что вписанный в ромб цилиндр имеет площадь поверхности 300π см². Формула для площади поверхности цилиндра - это S = 2πr(r + h), где "r" - это радиус основания цилиндра, а "h" - его высота. Мы знаем, что площадь поверхности равна 300π см². Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно "r".

300π = 2πr(r + 25)
Упростим уравнение, деля обе части на 2π:
150 = r(r + 25)
Раскроем скобки:
r² + 25r = 150
r² + 25r - 150 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение. В данном случае, использование формулы будет наиболее эффективным способом.

r = (-25 ± √(25² - 4 * 1 * (-150))) / (2 * 1)
r = (-25 ± √(625 + 600)) / 2
r = (-25 ± √1225) / 2
r = (-25 ± 35) / 2

Мы получаем два значения для "r": -30/2 или 10/2. Так как радиус не может быть отрицательным, мы берем положительное значение "r = 5".

Теперь, когда у нас есть значение радиуса, мы можем найти длину стороны основания "c" при помощи формулы S = πr²:
300π = π(5²)
300 = 25π
c = √(300/π) = √(300/π) * √(π/π) = √(300/π) * 1 = 10√(3)

Используя значение "c = 10√(3)", мы можем найти значение стороны "a":
a = (c * cos(120°)) / 2
a = (10√(3) * cos(120°)) / 2
a = (10√(3) * (-0.5)) / 2
a = -5√(3) / 2

Обратите внимание, что мы получили отрицательное значение для "a", но в данном случае, длина стороны не может быть отрицательной, поэтому мы возьмем абсолютное значение:
a = |-5√(3) / 2| = 5√(3) / 2

Теперь, когда у нас есть значение стороны "a", мы можем найти площадь боковой поверхности ромба при помощи формулы S = a * h, где "h" - это высота ромба, равная 25 см:
S = (5√(3) / 2) * 25
S = 125√(3) / 2

Таким образом, площадь боковой поверхности ромба составляет 125√(3) / 2 квадратных сантиметра.