Какова площадь четырехугольника ABCD с координатами вершин A(16; 3), B(18; 5), C(16; 7), D(14

Milashka_519

30

Для начала, давайте нарисуем данный четырехугольник на координатной плоскости, чтобы визуализировать его форму и понять, какие длины сторон нам нужно вычислить.

\[
\begin{array}{cccc}
& & C(16,7) & \\
& \nearrow & & \nwarrow \\
B(18,5) & & & & A(16,3) \\
& \nwarrow & & \nearrow \\
& & D(14,?)
\end{array}
\]

Теперь давайте пошагово вычислим площадь четырехугольника ABCD.

Шаг 1: Вычисляем длины сторон.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости. Формула имеет вид:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA.

AB:
\[
\begin{align*}
d_{AB} &= \sqrt{(18 - 16)^2 + (5 - 3)^2} \\
&= \sqrt{2^2 + 2^2} \\
&= \sqrt{4 + 4} \\
&= \sqrt{8}
\end{align*}
\]

BC:
\[
\begin{align*}
d_{BC} &= \sqrt{(16 - 18)^2 + (7 - 5)^2} \\
&= \sqrt{(-2)^2 + 2^2} \\
&= \sqrt{4 + 4} \\
&= \sqrt{8}
\end{align*}
\]

CD:
\[
\begin{align*}
d_{CD} &= \sqrt{(14 - 16)^2 + (? - 7)^2} \\
&= \sqrt{(-2)^2 + (? - 7)^2}
\end{align*}
\]

DA:
\[
\begin{align*}
d_{DA} &= \sqrt{(16 - 14)^2 + (3 - ?)^2} \\
&= \sqrt{2^2 + (3 - ?)^2}
\end{align*}
\]

Шаг 2: Проверяем, является ли четырехугольник ABCD параллелограммом.
Для этого нужно сравнить длины противоположных сторон AB и CD, а также BC и DA. Если все они равны, то четырехугольник - параллелограмм.

AB = CD, BC = DA?
\[
\sqrt{8} = \sqrt{4 + (? - 7)^2}
\]

\[
\sqrt{8} = \sqrt{4 + (3 - ?)^2}
\]

Шаг 3: Вычисляем площадь параллелограмма.
Если четырехугольник ABCD - параллелограмм, то площадь можно вычислить по формуле: S = AB * BC * sin(угол ABC).

Для начала, найдем угол ABC. Воспользуемся формулой косинусов, которая позволяет вычислить угол по длинам трех сторон треугольника. Формула имеет вид:

\[
\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}
\]

Известные значения:
AB = \(\sqrt{8}\)
BC = \(\sqrt{8}\)
АС = ?

Находим AC:
\[
\sqrt{8} = \sqrt{8} = \sqrt{8} = \sqrt{8} - \sqrt{2}
\]

Теперь найдем угол ABC:
\[
\angle ABC = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{8}^2 + \sqrt{8}^2 - (\sqrt{8} - \sqrt{2})^2}{2 \times \sqrt{8} \times \sqrt{8}}\right)
\]

Шаг 4: Вычисляем площадь.
Найденный угол ABC, длина стороны AB и BC позволяют нам вычислить площадь параллелограмма по формуле S = AB * BC * sin(угол ABC).

\[
S = \sqrt{8} \times \sqrt{8} \times \sin(\angle ABC)
\]

Вот пошаговое решение данной задачи. Надеюсь, оно помогло вам понять, как найти площадь четырехугольника ABCD с заданными координатами вершин.