Какова площадь, если учесть функции y = x^2 - x и y = -x^2

Mihail

27

Хорошо! Для решения данной задачи нам необходимо найти точки пересечения двух функций \(y = x^2 - x\) и \(y = -x^2\), а затем найти площадь между этими двумя кривыми.

1. Найдем точки пересечения двух функций:
Для этого приравняем \(y\) в обоих уравнениях:
\(x^2 - x = -x^2\)
Прибавим \(x^2\) к обоим сторонам:
\(2x^2 - x = 0\)
Факторизуем это уравнение:
\(x(2x - 1) = 0\)

Получаем два возможных значения \(x\):
\(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\)

Подставим эти значения в исходные уравнения, чтобы найти соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = 0\):
\(y_1 = (0)^2 - 0 = 0\)
Для \(x_2 = \frac{1}{2}\):
\(y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}\)

Получаем две точки пересечения: \((0, 0)\) и \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)\).

2. Теперь найдем площадь между этими двумя функциями:
Площадь между двумя кривыми может быть найдена путем вычисления интеграла от \(y_2\) до \(y_1\) разницы между двумя функциями.

Поэтому площадь \(S\) равна:
\[S = \int_{y_2}^{y_1} (x_2 - x_1) dy\]

Разница между двумя функциями \(y_2\) и \(y_1\) в данном случае задается выражением:
\[x_2 - x_1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем вычислить интеграл:
\[S = \int_{-\frac{1}{4}}^{0} \frac{1}{2} dy\]
\[S = \frac{1}{2} \int_{-\frac{1}{4}}^{0} dy\]

Поскольку мы интегрируем по переменной \(y\), нам также необходимо изменить пределы интегрирования в соответствии с границами между которыми расположены две функции. В данном случае нижней границей будет \(y_2\) (-1/4) и верхней границей будет \(y_1\) (0).

Теперь проинтегрируем:
\[S = \frac{1}{2} [y]_{-\frac{1}{4}}^{0}\]
\[S = \frac{1}{2} \left(0 - \left(-\frac{1}{4}\right)\right)\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\]
\[S = \frac{1}{8}\]

Получаем, что площадь между функциями \(y = x^2 - x\) и \(y = -x^2\) равна \(\frac{1}{8}\) квадратных единиц.

Выбранный метод позволяет нам найти точки пересечения функций и решить задачу, используя понятия из математики. Как лишний пример, здесь также может применяться графическое представление задачи при помощи построения графика функций.