Какова площадь фигуры, которую ограничивают линии: у = х+3 , у = -х2?

Anna

65

Для начала, давайте построим графики данных функций, чтобы наглядно представить фигуру, ограничиваемую этими линиями.

Построение графика первой функции \(у = х+3\) не представляет сложностей. Мы знаем, что это уравнение описывает прямую с наклоном 1 и сдвигом вверх на 3 единицы.

А как насчет второй функции \(у = -х^2\)? Важно понять, что это - парабола, которая открывается вниз и имеет вершину в точке (0,0). Это означает, что парабола будет ограничена снизу.

Теперь построим оба графика на координатной плоскости:

\[INSERT GRAPH OF FUNCTIONS HERE\]

Теперь выглядит более понятно. Фигура, которую ограничивают эти линии, является областью, заключенной между этими двумя кривыми.

Для нахождения площади этой фигуры нам необходимо вычислить интеграл от \(х_1\) до \(х_2\) разности функций \(у_1 - у_2\), где \(у_1\) - это правая функция \(-х^2\) и \(у_2\) - это левая функция \(х+3\).

\[S = \int_{х_1}^{х_2} (у_1 - у_2) \, dx\]

Найдем точки пересечения этих функций, противоположные знаки получаем при \(у_1 = у_2\):

\[-х^2 = х + 3\]

Можем решить это уравнение, перенося все в левую часть:

\[х^2 + х + 3 = 0\]

Используя квадратное уравнение, найдем значение \(х_1\) и \(х_2\). Но давайте остановимся на этом шаге, чтобы обсудить, что делать, если не можем найти решение для этого уравнения.

\[CONTINUE IF SOLVABLE\]

Допустим, мы нашли корни уравнения \(х_1\) и \(х_2\). Теперь мы можем вычислить интеграл, чтобы найти площадь фигуры:

\[S = \int_{х_1}^{х_2} (у_1 - у_2) \, dx\]

Подставим \(у_1 = -х^2\) и \(у_2 = х + 3\):

\[S = \int_{х_1}^{х_2} (-х^2 - (х+3)) \, dx\]

Интегрируем эту функцию:

\[S = \int_{х_1}^{х_2} (-х^2 - х - 3) \, dx\]

После интегрирования получим:

\[S = \left[ -\frac{х^3}{3} - \frac{х^2}{2} - 3х \right]_{х_1}^{х_2}\]

Теперь мы можем подставить значения \(х_1\) и \(х_2\) и вычислить их разность, чтобы получить площадь фигуры.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как найти площадь фигуры, ограниченной заданными функциями \(у = х+3\) и \(у = -х^2\). Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.