Какова площадь фигуры, ограниченной кривой y=(2x-3)e^-x и ее асимптотой на интервале [0;+∞)?

Ящик

40

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком кривой \(y=(2x-3)e^{-x}\) и ее асимптотой на интервале \([0;+\infty)\).

Для начала, нам нужно определить точки пересечения кривой с ее асимптотой. Асимптотой кривой \(y=(2x-3)e^{-x}\) на интервале \([0;+\infty)\) является ось Ox (горизонтальная прямая \(y=0\)), так как экспоненциальная функция \(e^{-x}\) стремится к 0 при \(x \rightarrow +\infty\).

Чтобы найти точки пересечения, приравняем \(y\) к нулю и решим это уравнение:

\[
(2x-3)e^{-x} = 0
\]

Так как экспоненциальная функция \(e^{-x}\) никогда не равна нулю, у нас есть только одна точка пересечения: \(x = \frac{3}{2}\).

Теперь площадь фигуры можно вычислить, используя определенный интеграл для площади под кривой:

\[
S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} [(2x-3)e^{-x}] dx
\]

Давайте найдем этот интеграл пошагово:

\[
S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (2x-3)e^{-x} dx
\]

Раскроем скобки:

\[
S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (2xe^{-x} - 3e^{-x}) dx
\]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

1) Интеграл \(\int 2xe^{-x} dx\):

Для нахождения этого интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям (формула интегрирования произведения двух функций):

\[
\int u dv = uv - \int v du
\]

Выберем \(u = x\) и \(dv = 2e^{-x} dx\). Тогда \(du = dx\) и \(v = -e^{-x}\).

Подставим значения в формулу:

\[
\int 2xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx
\]

Упростим:

\[
\int 2xe^{-x} dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx
\]

Теперь проинтегрируем \(\int e^{-x} dx\):

\[
= -xe^{-x} - e^{-x} + C_1
\]

где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

2) Интеграл \(\int 3e^{-x} dx\):

Для этого интеграла, \(3\) - константа, и интеграл экспоненциальной функции \(e^{-x}\) равен \(-e^{-x}\):

\[
\int 3e^{-x} dx = -3e^{-x} + C_2
\]

где \(C_2\) - постоянная интегрирования.

Теперь найдем значение определенного интеграла \(S\):

\[
S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (2x-3)e^{-x} dx
\]

\[
= \left [-xe^{-x} - e^{-x} \right ]_{0}^{\frac{3}{2}} - \left [-3e^{-x} \right ]_{0}^{\frac{3}{2}}
\]

Подставим верхние и нижние пределы интегрирования:

\[
= -\frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}} - (-0e^0 - e^0) - (-3e^{-\frac{3}{2}} + 3e^0)
\]

\[
= -\frac{4}{2}e^{-\frac{3}{2}} - e^0 + 3e^{-\frac{3}{2}}
\]

\[
= -2e^{-\frac{3}{2}} + 3e^{-\frac{3}{2}}
\]

\[
= e^{-\frac{3}{2}}
\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой \(y=(2x-3)e^{-x}\) и ее асимптотой на интервале \([0;+\infty)\), составляет \(e^{-\frac{3}{2}}\).