Какова площадь фигуры, определенной на координатной плоскости неравенством x^2+y^2 < или

Луна_В_Очереди_6394

28

Конечно, я помогу вам с этой задачей!

Неравенство \(x^2 + y^2 < r^2\) задает окружность радиусом \(r\) с центром в начале координат на плоскости. Чтобы найти площадь фигуры, определенной этой окружностью, нам понадобится интеграл.

Давайте решим задачу для случая, когда окружность имеет радиус \(r = 1\). То есть, нам нужно найти площадь фигуры внутри единичной окружности.

Первым шагом мы можем построить график окружности. Заметим, что окружность радиусом 1 имеет уравнение \(x^2 + y^2 = 1\), или, в явном виде, \(y = \sqrt{1 - x^2}\) и \(y = -\sqrt{1 - x^2}\).

Мы можем представить площадь фигуры, ограниченной неравенством \(x^2 + y^2 < 1\), в виде двойного интеграла по области внутри окружности. При этом, чтобы найти значение площади, мы можем использовать полярные координаты.

Интеграл для нахождения площади в полярных координатах имеет вид:

\[A = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r \, dr \, d\theta\]

Чтобы найти площадь фигуры, нам нужно вычислить этот двойной интеграл.

Выполнив определенный интеграл, мы получим площадь фигуры внутри единичной окружности на координатной плоскости.

Надеюсь, это решение понятно и подробно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется дополнительное пояснение, пожалуйста, дайте знать!