Какова площадь треугольника DFS, если FS равно 4 корень из 10, DF равно корень из 5 и угол F равен 45 градусов?

Solnechnyy_Pirog

19

Чтобы найти площадь треугольника DFS, мы можем использовать формулу площади треугольника, основанную на основании и высоте треугольника. Мы должны найти длину основания треугольника и его высоту.

Давайте начнем с вычисления длины основания (DF) с помощью теоремы косинусов. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где a, b и c - это стороны треугольника, а C - это угол между сторонами a и b.

В нашем случае a = FS (4 \sqrt{10}), b = SD (неизвестная сторона) и угол C = D (45 градусов).

Подставив известные значения в теорему косинусов, мы получим следующее уравнение:

\(DF^2 = FS^2 + SD^2 - 2 \cdot FS \cdot SD \cdot \cos(D)\)

\(5 = (4\sqrt{10})^2 + SD^2 - 2 \cdot 4 \sqrt{10} \cdot SD \cdot \cos(45)\)

\(5 = 16 \cdot 10 + SD^2 - 8 \sqrt{10} \cdot SD \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(5 = 160 + SD^2 - 8 \sqrt{5} \cdot SD\)

Далее нам нужно найти высоту треугольника от основания DF. Мы знаем, что угол F равен 45 градусам. Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти высоту треугольника:

\(\frac{\text{высота}}{FS} = \sin(F)\)

\(\text{высота} = FS \cdot \sin(F)\)

\(\text{высота} = 4\sqrt{10} \cdot \sin(45)\)

\(\text{высота} = 4\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\text{высота} = 2\sqrt{10}\)

Теперь у нас есть длина основания (DF) и высота треугольника (от DF). Мы можем использовать формулу площади треугольника:

\(\text{площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\)

\(\text{площадь} = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot \text{высота}\)

\(\text{площадь} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10}\)

\(\text{площадь} = \sqrt{10}\)

Таким образом, площадь треугольника DFS равна \(\sqrt{10}\) (квадратные единицы).