Какова площадь не занятая вписанной окружностью в прямоугольном треугольнике с катетами размерами 40 см и

Светлый_Ангел

58

Для решения задачи о площади не занятой вписанной окружностью в прямоугольном треугольнике, нам понадобится использовать свойство вписанной окружности.

В прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 40 см и 30 см (пусть эти катеты будут определены как a и b соответственно), мы можем найти площадь треугольника с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Площадь этого треугольника будет равна \(S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600 \, \text{см}^2\).

Теперь давайте рассмотрим вписанную окружность. Вписанная окружность является окружностью, которая касается всех сторон треугольника внутренним образом.

Найдем радиус этой окружности. Для этого воспользуемся формулой:

\[r = \frac{a + b - c}{2}\]

, где \(c\) - гипотенуза треугольника. В нашем случае гипотенуза будет равна \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \, \text{см}\).

Подставим значения в формулу для радиуса и вычислим:

\[r = \frac{40 + 30 - 50}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{см}\]

Площадь вписанной окружности можно вычислить с использованием формулы:

\[S_{\text{впис}} = \pi \cdot r^2\]

Подставим значение радиуса r и значение числа \(\pi\) (приближенно равное 3.14):

\[S_{\text{впис}} = 3.14 \cdot 10^2 = 3.14 \cdot 100 = 314 \, \text{см}^2\]

Теперь, чтобы найти площадь пустого пространства между треугольником и вписанной окружностью, мы вычитаем площадь вписанной окружности из площади треугольника:

\[S_{\text{пуст}} = S - S_{\text{впис}} = 600 - 314 = 286 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь не занятая вписанной окружностью в прямоугольном треугольнике равна 286 квадратным сантиметрам.